高中数学运算能力的培养

理解“运算求解能力” 促进高三数学复习

一、引言

高考制度不改革，不废除高考，数学就总是处在高考的风口浪尖上，高考数学试题几乎离不开运算，早在1998年任子朝先生在《高考数学能力考查与题型设计》一书中就指出：“运算量的大小以40％的考生在120分钟内能完成全卷的解答为标准”，而近几年江苏卷则连10％的考生都达不到，正确求解填空题与解答题的压轴题，则更是千里挑一、万里挑一，运算能力的培养成为高考成败的决定性因素，因为运算失误导致高考失败，改变一生命运成为部分考生永远的痛，今天我就高考数学复习中的运算求解能力培养抛砖引玉，谈一些认识和体会，敬请各位批评指正，本讲座主要参考任子朝先生主编的《高考数学能力考查与题型设计》一书及川大附中周祝先老师的讲座《对中学数学运算的认识》，同时得到省扬高中陈惠荣、卞国文、陆昌荣等老师的指导帮助，在此一并感谢。 二、当前运算能力培养的现状

1.初中课程改革弱化了运算能力要求。

（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代数恒等变形、韦达定理、比例、平面几何……删减）

2.计算器的广泛使用削弱了运算意识和技能。

3.高中数学教学突出了知识模块弱化了运算教学、淡化了运算训练意识，没有补上初中去掉而高考又必考的一些运算内容，江苏省高中数学教学要求和教学参考书也很少提及运算要求，如苏教版教学参考书（必修2）第2章平面解析几何初步提及本章教育目标8，在知识和概念的形成过程中，培养学生的合情推理能力，数学交流能力，探索能力和逻辑思维能力，唯独不强调运算求解能力；而在选修1-1、2-1圆锥曲线一章也同样只字不提运算求解能力，导致部分教师在实际教学中重视知识教学和解题思想、方法，轻视运算过程，自己钻研解题不够，对解题过程中的运算算理、算法不甚了解，无法有效、高效地指导学生。 4.学生不明算理、机械套用运算公式，不顾运算目标，进行盲目的推理演算，运算过程中缺乏选择合理、简捷的运算途径的意识，运算过程繁琐，错误率高，对运算求解能力的内涵缺乏科学认识，误以为是“马虎”、“粗心”造成运算

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错误，平时复习解题认为“只要方法对，做错了不要紧”。主要问题有： ①概念模糊不清（新增内容尤甚）学生容易因概念模糊而运算失误。 ②公式、性质记忆不准确.不会熟练进行顺向等价变形，逆向回代、。 ③数据处理能力差（计算、排序、筛选、分类等）.

④数学语言不过关，导致阅读习惯差，阅读能力差,运算无从下手. ⑤代数恒等变形常规方法不熟练. ⑥识别、驾驭图表的能力差.

⑦算法意识差，算理不清，对运算问题缺乏检验、反思、总结的意识. ⑧审题不仔细、表达能力差、书写不规范。

⑨运算习惯差，急于求成，粗枝大叶，说一套做一套,心里想的和手上写的不一致.

⑩心理素质差，演绎了从“不喜欢”到“害怕”到“恐惧”的运算悲剧.

5.高考对运算能力的考查力度不降反升，尽管有人坚持“多考想、少考算”，但“如何想”，很难有操作性的考查方法，况且江苏卷近几年的运算要求一直很高，因为考查运算求解能力是提高区分度的重要手段，且考查运算比较容易操作。

三、理解运算求解能力

数学能力是一种个性心理，它对数学活动的进程方式起着直接的、稳定的调节作用，数学能力是数学素质在数学活动中的外化，高考考查的数学能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等能力，其中运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件与目标寻找与设计合理简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算。

要正确理解运算求解能力，必须弄清以下几个问题： 1.高中阶段常见运算形式： ⑴数的四则运算（含复数运算） ⑵代数式的运算（法则、运算律） ⑶幂、指、对数运算

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⑷三角运算 ⑸向量运算 ⑹导数运算

⑺极限运算（非高考内容） ⑻方程与不等式运算（强调算法） ⑼概率运算 （10）矩阵运算 （11）抽象运算

2.运算的方法与技能要求：

⑴是否记住数学计算公式、法则，并能准确地运用公式和法则进行运算 ⑵能否应用概念、性质、定理进行有关的运算

⑶能否在进行各种运算时，结果准确、速度迅速、过程合理 ⑷能否进行各种查表和使用计算器计算（高考不要求） 3.运算的逻辑思维要求： ⑴是否合理使用公式、法则 ⑵运算方法和过程是否简捷

⑶能否对自己的运算结果进行检查验算和判断 ⑷能否自我改正运算中的各类错误

⑸能否简化运算过程，运用简缩思维进行“跳步”运算（填空题） ⑹能否较熟练地进行心算、速算、估算 ⑺是否会进行推理计算 4.运算求解能力的五个要素： ⑴.运算的准确

运算的准确是对运算能力的基本要求，在运算求解过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，运算的结果准确无误。

例1. 2009年江苏高考试题第13题。

如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为

y T B2

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M F A1 O A2 x B1 x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于

ab点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率

为 .

解：由已知条件可得：

xy??1……………① ?abxy直线B1F的方程为??1……………②

c?b2acb(a?c),) 联立①②可得两直线交点中的坐标为:(a?ca?cx2y2acb(a?c),),代入椭圆2?2?1可则线段OT的中点M的坐标为: (aba?c2(a?c)直线A1B2的方程为

得:4c2?(a?c)2?4(a?c)2，即得：e2?10e?3?0，

解之得：e??5?27，∵e?(0,1)，∴e?27?5.

在本题中，运算的目标是求离心率，运算程序是先求直线A1B2和B1F的交点，再由中点公式得到M点的坐标，代入椭圆方程得到关于a,b,c的方程化归为关于离心率e的方程从而求解出e的值.要求学生对运算过程中的每一步都必须准确无误才能得到正确的结果，难度大，属于难题。

⑵.运算的熟练

运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查，运算速度的快慢与定理、公式、结论掌握的熟练程度直接相关，熟练掌握各种公式、定理以及常用的恒等变形，熟练掌握一些常用的运算方法，记忆一些必要的补充公式和结论，对提高运算熟练程度是有益的。

例2. 1996年全国考试题：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为

100，则它的前3m项的和为 . 法一：由已知条件列出关于a1和d的方程组：

10(m?2)m(m?1)??a?ma?d?30???1?1m22 ?，解之得：?，

?2ma?2m(2m?1)d?100?d?401???2m2?3m(3m?1)10(m?2)3m(3m?1)40d?3m???2?210. 进而求得：S3m?3ma1?22m2m如果学生对数式的恒等变形比较熟练，则可用此法求出结果，但最一般的方法不一定是最优的方法。

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