第4大题

因为系统因果稳定，所以收敛域|z|〉0.8，

1?2z?112z?1H(z)????1?11?0.8z1?0.8z1?0.8z?1

所以h(n)?(?0.8)nu(n)?2(?0.8)n?1u(n?1)

或者h(n)??(n)?1.5(?0.8)nu(n?1) 或者h(n)??(n)?1.2(?0.8)n?1u(n?1)

12．求序列x(n)=an (0<|a|<1)的Z变换和收敛域。 解：X(z)??a?1?n?nz在上式中：?an???n????1??anz?nn?0?

； ?anz?n?1?1 z1?azn?0??n?nzaz1? z?1?aza?a

az11?a2?1所以：X(z)? ?? a?z?a1?az1?az?1(1?az)(1?az?1)

13．设有一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

1) 求这个系统的系统函数H(z)，并指出H(z)的收敛域； 2) 求出这个系统的单位脉冲响应h(n)； 3) 判断这个系统是否为稳定系统。 解：1）对差分方程两边求Z变换，得：

（1-z-1-z-2）Y（z）=z-1X（z）

Y(z)z?1zH(z)?????1?22X(z)1?z?zz?z?1?z(z?1.618)(z?0.618)z(z?1?51?5)(z?)22

收敛域为：z?1.618

2）由Z反变换，对H（z）方程两边同除z，有： H(z)AB?? ，容易求出A=0.4472；B=-0.4472

zz?1.618z?0.618从而可得：H(z)?0.4472(zz?)，由z?1.618z?0.618h(n)?0.4472[(1.618)nu(n)?(?0.618)nu(n)]

?Z反变换得：

3）由线性时不变系统稳定性的充要条件?h(n)??知，系统

n???为不稳定系统。

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14．设线形时不变系统函数H(z)为：

1?a?1z?1H(z)?.,a为实数?11?az

（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即：

H(ej?)?常数（2）参数a如何取值，才能使系统因果稳定？

1?a?1z?1z?a?1?解、（1）H(z)?z?a1?az?1 极点：a,零点：a?1

设取a?0.6，零、极点分布如右下图。

AωH(ej?)??a?2z?az?a?1?1?z?ej?e?aAB?ACej??aa?1j??1OaC1/aB?2acos??11?2acos??a2?1?2acos??a1?2acos??a22?1a 故H(z)是一个全通系统。

（2）a?1才能使系统因果稳定。

11?z?115．求X(z)?311?z?24z2?,z?1 2 的反变换。

解：（1）部分分式法

11115z?z?X(z)33?3X(z)???6?6111111zz2?z2?(z?)(z?)z?z?4422221566X(z)??111?z?11?z?122

1?1?5?1?X(n)?[??????]u(n)

6?2?6?2?1111?（2）长除法x(n)???1,?,,?,,??

?341216?nn

第3、4章大题

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1．某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为h(n)（长度为N），则该系统的频率特性、复频域特性（系统函数）、离散频率特性（DFT）分别怎样表示，三者之间是什么关系？ 答：频率特性：H(ej?)??h(n)e?j?n

n?0N?1n?0N?1复频域特性：H(z)??h(n)z?n

离散频域特性：H(k)??h(n)WNkn k=0,1,…,N-1

n?0N?1H(ej?)?H(z)z?ej?,即H(ej?)至z平面单位圆的H(z)

N点等间隔采

N

H(k)?H(z)z?ej2?kN0?k?N?1,H(k)是H(z)在单位圆上

样。H(k)?H(ej?)??2?N0?k?N?1,H(k)是H(ej?)在区间[0，2?]上的

点等间隔采样。

2． 用DFT对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的矛盾？

答：用DFT对连续信号进行谱分析时，主要关心的两个问题是谱分析范围和谱分辨率。谱分许范围受采样速率fs的限制，即fc

3．若序列x(n)和h(n)的长度均为4，写出利用DFT计算线性卷积x(n)*h(n)的步骤。

解：x(n)和h(n)的长度均为4，线性卷积的长度为7。 1）将x(n)的尾部增加3个零点，将h(n)的尾部也增加3个零点。2）分别对x(n)和h(n)作7点的DFT，得到H（k）和X（k）。3）将H（k）和X（k）相乘得到Y(k)。4）对Y(k)进行7点的IDFT，得到y(n)?IDFT[Y(k)]?x(n)?h(n)。

4．简述利用DFT分析连续时间信号的频谱，将会引起哪些误差，如何改善？

解：利用DFT分析连续时间信号的频谱，引起的误差有：（1）频谱混叠。改善方法：尽量提高采样频率。（2）截断效应，包括泄

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露和谱间干扰。改善方法：尽量加长观察时间；适当选择窗函数的形式。（3）栅栏效应。改善方法：尽量多加DFT的变换点数。

5．简述离散傅里叶变换与序列傅里叶变换、序列Z变换之间的关系。

答：离散傅里叶变换是序列傅里叶变换在[0,2?]上的N点等间隔采样，离散傅里叶变换是序列Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。

6． 试用框图表示用DFT计算离散线性卷积的方法。

答：假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别为N和M，它们线性卷积的长度为L=M+N-1，根据线性卷积与循环卷积的关系，用DFT计算离散线性卷积的框图表示法：

7．直接计算DFT存在什么问题？FFT算法的特点？

答：直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N 2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，在实际运用中，不能满足实时性的要求。

FFT的加法和乘法次数和Nlong2N成正比，当N很大时,两者的计算量之比为2N/Log2N。

8． DIF的FFT算法的基本蝶形结构如何？（5分） DIF的蝶形结构： m表示m列迭代，k,j为整数所在行数，ｒ可由Ｋ计算得出。（３分）

m表示m列迭代，k,j为整数所在行数，ｒ可由Ｋ计算得出。（5分）

9．一欲作频谱分析的模拟信号以10kHz的速率被取样，且计算了1024个取样的DFT，试完成：

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