2018--2019年北京市东城区高三数学一模理科试题

（19）（共13分）

解：（I）由题意知，4a?8，所以a?2．

因为e?1 2b2a2?c232?1?e?所以2?，

aa24所以b?3．

2x2y2??1． 所以椭圆C的方程为43（II）由题意,当直线AB的斜率不存在，此时可设A(x0,x0)，B(x0,?x0).

又A，B两点在椭圆C上，

x02x0212??1，x02?． 所以437所以点O到直线AB的距离d?12221． ?77当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y?kx?m．

?y?kx?m,?由?x2y2消去y得

?1??3?4(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0．

由已知??0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

4m2?128km所以x1?x2??，x1x2?． 223?4k3?4k因为OA?OB， 所以x1x2?y1y2?0．

所以x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?0．

22即(k?1)x1x2?km(x1?x2)?m?0．

4m2?128k2m22??m?0． 所以(k?1)223?4k3?4k2整理得7m?12(k?1)，满足??0． 所以点O到直线AB的距离

22d?|m|k2?1?12221为定值． ?77（20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当S?(?1,3)时，C(A,S)取得最大值为2．

（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a,b,c三个“元”的对称性，

可以只计算C(A,S)?3(a?b)的最大值，其中a2?b2?c2?1． 3由(a?b)2?a2?b2?2ab?2(a2?b2)?2(a2?b2?c2)?2， 得 ?2?a?b?2．

2时，a?b达到最大值2， 2当且仅当c?0，且a?b?于是C(A,S)?36(a?b)?． 333(a?b?c)的最大值， 3②当0不是S中的“元”时，计算C(A,S)?由于a2?b2?c2?1，

所以(a?b?c)?a?b?c?2ab?2ac?2bc． ?3(a?b?c)?3， 当且仅当a?b?c时，等号成立． 即当a?b?c?222222233(a?b?c)?1． 时，a?b?c取得最大值3，此时C(A,S)?33综上所述，C(A,S)的最大值为1．

（Ⅲ）因为Bm?(bm1,bm2,bm3,bm4)满足bm12?bm22?bm32?bm42?m．

由bm1,bm2,bm3,bm4关系的对称性，只需考虑(bm2,bm3,bm4)与(a1,a2,a3)的关系数的情况． 当bm1?0时，有(bm2m)2?(bm3m21)2?(bm4m)2?1．

222bmbmbm2223a?a2?a3?4bbbm?m?m a1m2?a2m3?a3m4?222mmm222a12?a22?a32bm2?bm3?bm4?? 22m

11???1．

22即bm1?0，且a1?bm2m，a2?bm3m，a3?bm4m时，

a1bm2?a2bm3?a3bm4的最大值为m．

当bm1?0时，bm22?bm32?bm42?m， 得a1bm2?a2bm3?a3bm4最大值小于m． 所以C(A,Bm)的最大值为m(m?1,2,3,L,n)．