2020高考数学复习 集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习（理）（含解析）

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

[基础题组练]

1．已知命题p：若x≥a＋b，则x≥2ab，则下列说法正确的是 ( ) A．命题p的逆命题是“若x＜a＋b，则x＜2ab” B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a＋b” C．命题p的否命题是“若x＜a＋b，则x＜2ab” D．命题p的否命题是“若x≥a＋b，则x＜2ab”

解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a＋b”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a＋b，则x＜2ab”，故C正确，D错误．

2．“若x，y∈R，x＋y＝0，则x，y全为0”的逆否命题是( ) A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x＋y≠0 B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x＋y＝0 C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x＋y≠0 D．若x，y∈R，x，y全为0，则x＋y≠0

解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x＋y＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x＋y≠0，故选C.

3．有下列几个命题：

11

①“若a＞b，则＞”的否命题；

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ab②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A．① C．②③

B．①② D．①②③

2

11

解析：选C.①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为

ab“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.

4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C.由A∩B＝A可得A?B，由A?B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A?B”的充要条件．故选C.

- 1 -

5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

2

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为cos 2α＝cosα－sinα＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.

6．(2019·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝

c”的( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．

→→

7．(2019·西安八校联考)在△ABC中，“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角形”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

→→→→→→

解析：选A.法一：设AB与BC的夹角为θ，因为AB·BC＞0，即|AB|·|BC|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角→→

形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.

→→→→

法二：由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，即cos B＜0，所以∠B＞90°，△ABC是钝角三角→→

形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“AB·BC＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.

8．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集

C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是

“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

法二(等价转化法)：因为x＝y?cos x＝cos y，而cos x＝cos y?/ x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，即“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

1

9．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的( )

x - 2 -

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1

解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，

xf(－x)＝sin(－x)－

1?11?＝－sin x＋＝－?sin x－?＝－f(x)，故f(x)为奇函数； x?－xx?

1

反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－

xx)－

11

＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0， －xx1

所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.

x10．(2019·长沙四校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn的最大值是S8”是

??a7＋a8＋a9＞0“?”的( ) ?a7＋a10＜0?

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

????a8≥0?a7＋a8＋a9＞0?a7＋a8＋a9＝3a8＞0

??解析：选B.若Sn的最大值为S8，则；若，则 ?，????a9≤0?a7＋a10＜0?a7＋a10＝a8＋a9＜0???a8＞0?a7＋a8＋a9＞0

?所以.所以“Sn的最大值是S8”是“?”的必要不充分条件，故选B. ?a9＜0?a7＋a10＜0??

11．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( ) A．a＋b＞0 C．ab＞1

B．a－b＞0 D. ＞1

ab解析：选A.因为a＞0，b＞0?a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1，故选A.

12．圆x＋y＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( ) A．k≤－22或k≥22 C．k≥2

B．k≤－22 D．k≤－22或k＞2

|－3|

2

2

ab解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝

2

2

2

2

k2＋1

2

≤1，即k＋1≥3，所以k＋1≥9，即k≥8，所以k≥22或k≤－22，所以圆x＋y＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.

[综合题组练]

- 3 -

1．(创新型)(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

2．(2019·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是( ) A．a＝b＝1 C．a＝b＝2

B．a，b至少有一个为1 D．a＞1且b＞1

*

解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.

3．(2019·四川达州一诊)方程x－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( ) A．a＜0 C．－1＜a＜0

22

B．a＜－1 D．a＞－1

解析：选B.因为方程x－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，所以

??Δ＝4－4（a＋1）＞0，?解得a＜－1.故选B. ?a＋1＜0，?

4．(应用型)若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

??a<0，? 2?Δ＝4a＋12a≤0，?

2

2

解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0. 答案：[－3，0]

5．(应用型)已知命题p：x＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．

解析：由x＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由?q的一个充分不必要条件是?p，可知?p是?q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.

答案：[1，＋∞)

2

2

- 4 -