第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用 - 作业

一、必做作业

1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题： 1） 过与边证

的顶点任作一条直线，分别交于点及，求．

证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,并延长AD交HB于点G.

因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;

由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.

证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。因为AB:y=0，从而得到F(-c/k,0),

及中线

AD:cx-by=0.与CF联立，得E(bc/(c-kb),c/(c-kb)) AF:FB=-c/k:((b+c/k)=-c/(kb+c),AE:ED=bc/(c-kb):[ b/2- bc/(c-kb)]=-2c/(kb+c) 所以AE:ED=2AF:FB. 2）（梅耐劳斯定理） 设分别在的边2及（或延长线）上，求证：要条件是 三点共线的充 证明：如图，建立仿射坐标系： 以BC为x轴，以BA为y轴，B(0，0),C(a,0),A(0，b)，M(x0,0),L(0,y0)，则直线AC的方程为：x?y?1， ab直线ML的方程为：xy??1，联立上述方程，可求得x0y0N点坐标为（ax0(b?y0),by0(b?y0)）。bx0?ay0bx0?ay0ax0(b?y0)bx0?ay0y(x?a)?00ax0(b?y0)x0(b?y0)bx0?ay0xALb?y0BMCN?,?0,?LBy0MCx0?aNAa?y(x?a)ALBMCNb?y0x0所以，=??00=1 LBMCNAy0x0?ax0(b?y0)故本题结论得证 3）已知连结． 证明：如图，延长AD至K使得DG=DK,由于BD=DC,所以四边形BKCG为平行四边形，所以进一步得到FG∥BK,KC∥GE,在△ABK和△AKC中，根据平行线分线段成比例知：AF=AG,AE?AG,从而AF=AE，所以FE∥BC FBGKECGKFBEC中，是边上的中点，是上的任一点，于，求证//并延长交于，连并延长交 2．利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明． x2y2性质12?2=1?a?b?0?abx2y2椭圆2?2=1?a?b?0?的面积是πab abx2y2证明：设椭圆方程：2?2=1?a?b?0?，则经仿射变abx=x1 by1222换y=，则其对应的图形为圆形，解析式为x1+y1=a，a椭圆内的?ABC的各个定点坐标分别是O（0,0），A（a，0），B（0，b），对应到仿射的圆形中的左边为O（0,0），A1（a，椭圆的面积圆的面积?0），B1（0，a），所以,所以S?OABS?oA1B1椭圆的面积πa2?，所以椭圆的面积=πab 112aba22