湖南平江四中2010年下学期高一数学必修5全套教案（82页）

变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=93;a=12,S=183

例3、在?ABC中，求证：

a2?b2sin2A?sin2B（1）?;

c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设

a = b = c = k 显然 k?0，所以

sinAsinBsinCa2?b2k2sin2A?k2sin2Bsin2A?sin2B 左边===右边 ?c2k2sin2Csin2C（2）根据余弦定理的推论，

b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右边=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边

变式练习2：判断满足sinC =

sinA?sinB条件的三角形形状

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （解略）直角

三角形

Ⅲ. 课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 课后作业： 教学后记：

§1.3.1小结与复习

一、选择题：

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于

（ ）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

（ ）

B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．b=c=1, ∠B=45°

（ ）

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A．a=1,b=2 ,c=3 C．a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形ABC中，有

A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAsinB且cosBsinA 4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 A．直角三角形 C．等腰三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

2

（ ）

5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B A．B>60°

B．B≥60° C．B<60°

m

（ ）

D．B ≤60°

（ ）

D．不定

6、满足A=45,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a 的值为

A．4

B．2 C．1

7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于

（ ）

A

B

asin?sin?asin??sin?A． B．

sin(???)cos(???)C．

asin?cos?acos?sin? D．

sin(???)cos(???)? ? D C 8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南 偏东60°,则A,B之间的相距 A．a (km) 二、填空题：

9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=

B．3a(km) C．2a(km) D．2a (km)

（ ）

7, 则ΔABC是______三角形. 1210、在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.

1222

(a+b－c),那么角∠C=______. 43112、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.

3211、在ΔABC中，若SΔABC=三、解答题：

13、已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

14、已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B, 的值.

15、二次方程ax－2bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长.

2

21A?C1+ =－ , 求coscosBcosAcosC2 ①证明方程有两个不等实根；

②证明两个实根α,β都是正数； ③若a=c,试求|α－β|的变化范围.

16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在

岛北60°

东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处,俯角60°. ①这船的速度每小时多少千米？

②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？

参考答案

一、BDBBDAAC 二、（9）钝角 （10）三、13． b＝7，S△＝

114?3 （11） （12）

834323

（14）分析：?A?C?2B,?B?60?,A?C?120?再代入三角式解得A或C. 解：

?A?C?2B,?180??B?2B,?B?60?.A?C?120?.

∴由已知条件化为：

11???22.?cos(120??A)?cosA??22 cosAcos(120??A)cosAcos(120??A),设

A?C??,则A?60???,C?60???.代入上式得：cos(60???) 2.

化

简

整

理

得

?cos(60???)??22cos(60???)cos(60???)42cos2??2cos??32?0

?(2cos??2)(22cos??3)?0,?cos??2222A?C2. ,即cos?22222（15）??1?cosB?0且b?a?c?2accosB,??(?2b)?4ac?2b?4ac

?2(a2?c2?2accosB)?4ac?2(a?c)2?4accosB?0.（其中2(a?c)2?0且?4accosB?0

∴方程有两个不相等的实根. ②????2bc?0,????0, ∴两实根α、β都是正数. aa?2b?????2b2?2222a③a=c时，?,?(???)?a???2???(???)?4???2?4?

a????c?1?a?2(a2?c2?2accosB)?4a2??4cosB,??1?cosB?0,?0??4cosB?4,因此0?|???|?2. 2a（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.

解：①如图：所示. OB=OA tan30??3(千米)，OC?3（千米）

3则BC?OB2?OC2?2OB?OCcos120??133（千米）?船速v?1310??239（千360米/小时）

OB2?BC2?OC2513②由余弦定理得：cos?OBC??,?sin?EBO?sin?OBC?

2OB?BC261?(5132339513)?,cos?EBO??,sin?OEB?sin[180??(?EBO?30?)]? 262626sin(?EBO?30?)?sin?EBO?cos30??cos?EBO?sin30??

13. 13