《勾股定理》学案

《勾股定理》学案1

一、课前预习新知 （一）、预习目标：

通过回顾以前所学的直角三角形知识与初步自学课本，感知勾股定理的探究过程，能说出勾股定理的内容，并能简单计算由两边求第三边.

（二）、预习内容： 1.直角三角形的性质：

（1）直角三角形两锐角 ；

（2）直角三角形斜边上的中线等于 ； （3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 .

2.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么 3．求下图中直角三角形未知的边长：

1217

5

4．下列说法正确的是（ ）.

1510690247 A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2?b2?c2 B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2?b2?c2

C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2?b2?c2 D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2?b2?c2 5．在Rt△ABC中，∠A＝90°，且a?2,b?1，则c＝ .

6．在Rt△ABC中，AB＝22，CA＝CB，则AC＝ . 参考答案：

1、（1）互余（2）斜边的一半；（3）斜边的一半；2、a2?b2?c2 3、13，8，56，25. 4、D 5、1 6、2

二、课内探究新知 （一）、学习目标

1.了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程.

2.理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用. 3. 提高推理意识与探究习惯，感受我国古代数学的伟大成就. 学习重点：勾股定理及其实际应用.

学习难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理. （二）、学习过程

核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学习情况.

活动1故事导入

毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他.谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.

同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?

活动2课堂探究

问题1：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?

（1）等腰直角三角形有什么性质？

（2）这三个正方形的面积是多少？你是怎么想的？两个小正方形的面积的和与大正方形的面积有什么关系？

（3）等腰直角三角形ABC的三条边有什么数量关系？

问题2：等腰直角三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论.(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积.)

由上面的几个例子，我们猜想：

命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2?b2?c2. 活动3 弦图证明

下图是我国古人赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下，如图(7).

22

把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a＋b，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成.把图(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形.

因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等.

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因此a＋b＝c

这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理.命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.

我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它.上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.

这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”.而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现.

再介绍下面的拼图方法：

活动4 实际应用

1.在△ABC中，∠C=90°

(1)若a=8，b=6，则c=_________； (2)若 c=20，b=12，则a=_________；

(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________. ［师生共析］

分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2?b2?c2.在此关系式中，涉及到三

个量，利用方程的思想，可“知二求一”.

解：根据题意可得a2?b2?c2.

2

(1)若a=8，b=6，所以82?62?c2.即c=100，c＞0，所以c=10；

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(2)若c=20，b=12，所以a2?122?202，即a=20－12=(20+12)(20－12)=32×8=16，a＞0，所以a=16；

22222

(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)+(4x)=10.化简，得9x+16x=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.

2.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解

释这是为什么吗？

解：不同意.因为电视机的屏幕指的是对角线长

根据勾股定理得：582?462?74，所以售货员没搞错

3．探究1：一个门框的尺寸如图所示，一个长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？说明理由.

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角.⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法.⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣.

DC

AB 4. 探究2：如图，一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 分析： ⑴ △AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB. ⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD. 则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC. ⑶ 一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD.

AC

BDO5.在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积.