镇江市2016届高三年级第一次模拟考试word版（含答案）

【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数与方程．考查概念的理解和运算能力，难度中等. 【解析】作函数图象可得，当y?kx?k过点??1?11?,?时，直线的斜率最小即k??，当

3?22?直线y?kx?k与y?x2?x?x?0?相切时有一个交点，k?y'?1，故函数f(x)＝x－x， x>0，??1

与直线y?kx?k有两个不同的交点时，k的取值范围为[－，1)∪(1，?1?1?3＋x－， x≤0，??2?2?

1

＋∞)，即关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为[－，31)∪(1，＋∞)．

14. 由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________． 【答案】?2

5?1． 4【命题立意】本题旨在考查三角函数值，诱导公式．考查概念的理解和运算能力，难度中等.

00000【解析】由sin 36°＝cos 54°得sin36?2sin18cos18?cos36?18??即

?2?22?165?14sin18?2sin18?1?0，解得sin18?， ?2?442000cos20160?cos?5?3600?1440??cos?1440???cos360?2sin2180?1??5?1， 4二、 解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)

如图：四棱锥PABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点． (1) 求证：AM∥平面PBC； (2) 求证：CD⊥PA.

(第15题图)

【答案】（1）略；（2）略．

【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力，难度较小.

【解析】证明：(1) 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点， 由AB∥CM，且AB＝CM，

所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形(3分)

所以AM∥BC，（4分）

??

又因为BC?平面PBC，（5分）??故AM∥平面PBC， AM是平面PBC外一条直线，（6分）??

(2) 连接PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，(8分) 又因为四边形ABCM是矩形，CD⊥AM，(9分) CD⊥AM，CD⊥PM，

??

PM?平面PAM，AM?平面PAM，（10分）??CD⊥平面PAM.(12分)

?PM∩MA＝M，（11分）?

又因为AP?平面PAM，(13分) 所以CD⊥PA.(14分) 16. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且m∥n. (1) 求B；

π339A＋?＝(2) 若b＝13，cos??6?26，求a. π

【答案】（1）B＝；（2）1．

3

【命题立意】本题旨在考查向量的平行的运算，余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角变换，正弦定理；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.能力，难度较小 【解析】 (1) 因为m∥n，所以a2＋c2－b2＝ac，(2分) a2＋c2－b2ac1

因为cosB＝＝＝，(4分)

2ac2ac2B∈(0，π)(5分) π

故B＝.(6分)

3

ππ5π?，，(7分) (2) 因静风瑞雪为A＋∈?6?66?π339?A＋π?＝513，(9分) A＋?＝cos?，所以sin?6?26?6?26ππ39

A＋?－?＝所以sinA＝sin????6?6?26，(11分)

ab

在△ABC中，由静风瑞雪正弦定理可得：＝，(13分)

sinAsinB解得a＝1.(14分) 17. (本小题满分14分)

如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域． (1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值； (2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．

(第17题图)

2π2π3【答案】（1）α的最小值为，较小区域面积的最小值是50?－?km2.；（2）20＋103 km．

3?32?【命题立意】本题旨在考查导数在函数中的应用，考查学生的推理分析能力，难度中等. 【解析】(1) 如图1，作OH⊥AB，设静风瑞雪垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH， d

因为cos∠AOH＝，(1分)

10

要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得， d≤OP＝5km，(3分)

当且仅当AB⊥OP时，dmin＝5km. π2π

此时αmin＝2∠AOH＝2×＝.(4分)

33

设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S， 根据题意可得：S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分) f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，f(α)为增函数，(7分) 2π??2π－3?km2.(8分) 所以Smin＝f?＝50?3??32?

2π2π3

答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50?－?km2.(9分)

3?32?

(第17题图1)

(2) 如图2，分别过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD垂足分别是H，H1， 记OH＝d，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0，5]

2222

所以d21＋d2＝OP＝25，且d2＝25－d1(10分) 2因为AB＝2100－d21，CD＝2100－d2，

222所以AB＋CD＝2(100－d21＋100－d2)＝2(100－d1＋75＋d1)，(11分) 2记L(d1)＝AB＋CD＝2(100－d21＋75＋d1)， 2可得L2(d1)＝4[175＋2（100－d21）（75＋d1）]，

(12分)

222由d21∈[0，25]，可知d1＝0，或d1＝25时，L(d1)的最小值是100(7＋43)，

从而AB＋CD的最小值是20＋103 km.(13分) 答：两条公路长度和的最小值是20＋103 km.(14分)

(第17题图2)

18. (本小题满分16分)

x2y23

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点为A(－3，0)，

ab2圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切． (1) 求椭圆方程； (2) 求圆O方程；

(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．