2018年山东高考数学模拟冲刺试题【含答案】

＝2＋

n1

2n－1

1?1?1n－＝2＋??，(8分)

2n＋12?2n－12n＋1?

11?11??1－1? ]2n所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋2＋…＋2＋[( 1－ )＋?－?＋…＋??23?35??2n－12n＋1?21－2＝

1－2

n1?1?nn＋1

＋?1－＝2－2＋.(12分) ?2n＋1?2?2n＋1

18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：

零件数x(个) 加工时间y(分钟)

(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；

(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间． －－i∑＝1xiyi－nx y－－

附：b＝，y＝bx＋a.

2

i∑＝1xi－nx10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 nn2

^

解 (1)设所求的回归直线方程为y＝bx＋a. 列表：

xi yi xiyi

55－－－－2

∴x＝30，y＝75，i∑＝1xi＝5500，i∑＝1xiyi＝11920,5xy＝11250.(4分) －－

∑xy－5xy11920－11250iii＝1

∴b＝5＝2＝0.67，

－5500－5×3022

∑xi－5xi＝1－－

a＝y－bx＝75－0.67×30＝54.9， ^

∴回归直线方程为y＝0.67x＋54.9.(8分) (2)由(1)所求回归直线方程知，x＝70时， ^

5

10 62 620 20 68 1360 30 75 2250 40 81 3240 50 89 4450 y＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．

∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟．(12分)

19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

1

(2)已知EF＝FB＝AC＝23，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．

2

解 (1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.(2分)

又EF∥OB，所以GI∥OB.

因为OB?平面GHI.所以OB∥平面GHI.(3分) 在△CFB中，因为H是FB的中点， 所以HI∥BC.同理BC∥平面GHI.(4分) 又OB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.(5分) 因为GH?平面GHI， 所以GH∥平面ABC.(6分)

(2)解法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC. 又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(7分) 由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)． 过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝FB－BM＝3， 可得F(0，3，3)．(9分)

→→

故BC＝(－23，－23，0)，BF＝(0，－3，3)． 设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量，

2

2

?m·→BC＝0，由?→

?m·BF＝0，

?－23x－23y＝0，可得?

?－3y＋3z＝0.

??

可得平面BCF的一个法向量m＝?－1，1，

3?

?.(10分) 3?

因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，

m·n7

所以cos〈m，n〉＝＝.(11分)

|m||n|7

所以二面角F－BC－A的余弦值为

7

.(12分) 7

解法二：连接OO′.过点F作FM垂直OB于点M，

则有FM∥OO′.(7分) 又OO′⊥平面ABC， 所以FM⊥平面ABC.(8分) 可得FM＝FB－BM＝3.

过点M作MN垂直BC于点N，连接FN. 可得FN⊥BC，

从而∠FNM为二面角F－BC－A的平面角． 又AB＝BC，AC是圆O的直径， 所以MN＝BMsin45°＝从而FN＝6

，(9分) 2

2

2

427

，可得cos∠FNM＝.(10分) 27

7

.(12分) 7

2

所以二面角F－BC－A的余弦值为

20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－2)

2

＋y＝12及点A(－2，0)，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE⊥CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求.

解 (1)由题意知：点P在圆内且不为圆心，故|PA|＋|PM|＝23>22＝|AM|，(2分) 所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，

k1

k2

?2a＝23，x2y2

设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，则?

ab?2c＝22

2

??

?a＝3，?c＝2，

所以b＝1，故曲线W的方程为＋y＝1.(4分)

3

(2)设C(x1，y1)(x1y1≠0)，E(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，则直线CD的斜率为kCD＝，又CE⊥CD，所以直线CE的斜率是kCE＝－，记－＝k，设直线CE的方程为y＝kx＋m，由

x2

2

y1x1

x1y1x1y1

y＝kx＋m，??2

题意知k≠0，m≠0，由?x2

＋y＝1，??3

6mk222

得(1＋3k)x＋6mkx＋3m－3＝0，∴x1＋x2＝－2，1＋3k2m∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2，(8分)

1＋3k由题意知，x1≠x2，所以k1＝

y1＋y21y1

＝－＝， x1＋x23k3x1