2018年山东高考数学模拟冲刺试题【含答案】

1?ππ?则函数g(x)＝cos(x＋φ)在?－，?上的最小值是.故选D. 2?26?

10．[2017·桂林联考]已知抛物线y＝4x的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|＝2|FA|，则AB的长度为( )

317

A. B．2 C. D.17 22答案 C

解析 依题意知P(－1,0)，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|＝2|FA|，得x2＋1＝2(x1＋1)，即x2＝2x1＋1 ①，∵P(－1,0)，则AB的方程为y＝kx＋k，与y＝4x联立，122222242

得kx＋(2k－4)x＋k＝0，则Δ＝(2k－4)－4k>0，即k<1，x1x2＝1 ②，由①②得x1＝，

22－0?1?则A?，2?，∴k＝1?2?

－－12

|AB|＝

＝

225

，∴x1＋x2＝， 32

17

，选C. 2

2

2

?1＋8?[x1＋x2?9???

2

－4x1x2]＝

11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George－Louis Leclerc de Buffon)做了一个著名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a的一簇平行直线，细针长

a??l≤度为l??，随机向桌面抛掷针的次数是n，其中针与平行线相交的次数是m，则圆周率π

?2?

的估计值为( )

nl2nlma2maA. B. C. D. mamanlnl答案 B

解析 设事件A为“针与平行直线相交”，如图，设针的中心到平行线的最小距离为Y，与平行线所成角为α，则所有事件构成的集合

??Ω＝???

?

a，Yπ

0≤α≤，???2????a?????0≤Y≤2??

2

，

??lA＝?a，Y∈Ω|0≤Y≤sinα?，则在平面直角坐标系内，集合Ω对应的区域面积SΩ

2

?

?πaπl?l?＝，集合A对应的区域面积SA＝?πsinαdα＝?－cosα??2

?224?2???0?0

＝

2lm2nl＝，则π＝. aπnma??x＋12．[2016·天津高考]已知函数f(x)＝?

?loga?

lSA＝，所以P(A)＝2SΩ

4a－3x＋3a，x<0，

x＋1＋1，x≥0

(a>0，且a≠1)

在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )

?2?A.?0，?

?3??12??3?C.?，?∪?? ?33??4?

答案 C

?23?B.?，? ?34??12??3?D.?，?∪?? ?33??4?

4a－33

解析 当x<0时，f(x)单调递减，必须满足－≥0，故0

24113

＋∞)上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需3a≥1，即a≥，所以≤a≤.结合函数

334图象，当x≥0时，函数y＝|f(x)|的图象和直线y＝2－x有且只有一个公共点，即当x≥0时，方程|f(x)|＝2－x只有一个实数解．因此，只需当x<0时，方程|f(x)|＝2－x恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x<0时，f(x)>0，即只需方程f(x)＝2－x恰有一个实数解，即x＋(4a－3)x＋3a＝2－x，即x＋2(2a－1)x＋3a－2＝0在(－∞，0)上恰有唯一的实数1322

解．判别式Δ＝4(2a－1)－4(3a－2)＝4(4a－7a＋3)＝4(a－1)(4a－3)，因为≤a≤，所

3422

以Δ≥0.当3a－2<0，即a<时，方程x＋2(2a－1)x＋3a－2＝0有一个正实根、一个负实

322

根，满足要求；当3a－2＝0，即a＝时，方程x＋2(2a－1)x＋3a－2＝0的一个根为0，一

32232

个根为－，满足要求；当3a－2>0，即

＋3a－2＝0有两个负实根，不满足要求；当a＝时，方程x＋2(2a－1)x＋3a－2＝0有两个

4

2

2

?12??3?

相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a的取值范围是?，?∪??.

?33??4?

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．

答案 3

解析 输入a＝0，b＝9，第一次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，i＝1＋1＝2；第二次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，i＝2＋1＝3；第三次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b成立，所以输出i的值为3.

x2y2

14．[2016·北京高考]双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OCab所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

答案 2

解析 由OA、OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x－y＝a.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝22，根据c＝2a可得a＝2.

→→→→→→

15．[2017·太原质检]已知向量AB与AC的夹角为120°，|CB－CA|＝2，|BC－BA|＝3，→→→→→

若向量AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

答案

12 7

2

2

2

2

2

→→→→→→?1?解析 由条件可知|AB|＝2，|AC|＝3，于是AB·AC＝2×3×?－?＝－3.由AP⊥BC，得

?2?→

→→→→→→2→→→2

AP·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以|AC|＋(λ－1)AB·AC－λ|AB|＝0，即9

12

＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝. 7

16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinB＋(a＋b－c)sinA＝0，tanA＝答案

7π 36

2

2

2

2

2

2

2

2

2sinB＋12cosB＋1

，则角A等于________．

解析 在△ABC中，asinB＋(a＋b－c)sinA＝0，

∴asinB＋2abcosCsinA＝0，asinB＋2bcosCsinA＝0，sinAsinB＋2sinBcosCsinA＝0， 12π

又sinA≠0，sinB≠0，∴cosC＝－，且0

23π2sinB＋1

则A＝－B，又tanA＝，

32cosB＋1

2

?π??π??π??π?∴sin?－B?·2cosB＋sin?－B?＝cos?－B?·2sinB＋cos?－B?， ?3??3??3??3??π??π?∴2[ sin?－B?cosB－cos?－B?sinB ]

?3??3??π??π?＝cos?－B?－sin?－B?， ?3??3?

即2sin?

?π－2B?＝2sin?π－π＋B?，

??43??3???

ππππ5π3ππ5π

∴－2B＝B－或－2B－＋B＝π，解得B＝或B＝－(舍去)，故A＝－312312364336＝7π. 36

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，a1a3＝4，且

*

a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋1

，求数列{cn}的前n项和．

b2n－1·b2n＋1

解 (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0， 在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，① (2分)

又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②

把①代入②，得2(2q＋1)＝2＋2q，解得q＝2或q＝0(舍去)，(4分) 所以an＝a2qn－2

2

＝2

n－1

，

n则bn＝log2an＋1＝log22＝n.(6分) (2)由(1)得，cn＝an＋1＋

1

b2n－1·b2n＋1