2019年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷解析版

角分别为∠ABD＝18°，∠ACD＝14°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长． （参考数据：sin14°≈0.242，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

【分析】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为xm．通过解Rt△ADB和Rt△ACD求得BD、CD的长度，然后结合BC＝CD﹣BD列出方程，并解答． 【解答】解：设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为x m． 在Rt△ADB中，tan∠ABD＝∴BD＝

＝

，

．

在Rt△ACD中，tan∠ACD＝∴CD＝

∵BC＝CD﹣BD， ∴∴4x﹣

﹣x＝6．

＝

，

．

＝6．

解这个方程，得x＝6.5．

答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为6.5 m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

24．（8分）某校为迎接市中学生田径运动会，计划由八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因1个小组另有任务，其余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？

【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设每个小组有学生x名， 根据题意，得

﹣

＝4，

解这个方程，得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的根， 答：每个小组有学生10名．

【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．

25．（8分）如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的⊙O交AD于点E，连接BE、CE，BE＝BC．

（1）求证：△BEC∽△CED；

（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半径．

【分析】（1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；

（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径），再利用垂径定理即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD．

∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°． ∴∠BEC＝∠DEC

∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCE＝180°． ∴∠BCE＝∠D ∴△BEC∽△CED 即得证．

（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，连接OC，如下图．

∴CF＝CE

∴直线OF垂直平分CE． ∵BE＝BC，

∴直线OF经过点B．

∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD， ∴

＝

．

∵BC＝10，DE＝3.6， ∴CE＝CD＝6 ∴CF＝CE＝3． 设⊙O的半径为r． 可得BF＝

2

＝

2

，OF＝

2

﹣r．

在Rt△OCF中，OF+CF＝OC， ∴（∴r＝

﹣r）+9＝r

．

2

2

即圆的半径为

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，尤其是对两个等腰三角形的判定更为特殊，利用直径构造直角三角形是相关问题中的常用思路． 26．（9分）换个角度看问题． 【原题重现】

一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系． ……

若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相

遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 【问题再研】

若设慢车行驶的时间为x（h），慢车与甲地的距离为s1（km），第一列快车与甲地的距离为s2（km），第二列快车与甲地的距离为s3（km），根据原题中所给信息解决下列问题： （1）在同一直角坐标系中，分别画出s1、s2与x之间的函数图象； （2）求s3与x之间的函数表达式； （3）求原题的答案．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得s1、s2与x之间的函数关系式，从而可以可以画出s1、s2与x之间的函数图象；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以求得s3与x之间的函数表达式； （3）根据（2）中函数关系式，令s3＝0求出相应的x的值，即可解答本题． 【解答】解：（1）慢车速度为：900÷12＝75km/h， 则快车速度为：（900﹣75×4）÷4＝150km/h， 则s1＝900﹣75x（0≤x≤12），s2＝150x（0≤x≤6）， 则s1、s2与x之间的函数图象如右图所示； （2）由（1）知s1＝900﹣75x， 当x＝4.5时，s1＝562.5，

设s3与x之间的函数表达式为s3＝150x+b， 当x＝4.5时，s3＝562.5，

562.5＝150×4.5+b，得b＝﹣112.5， 即s3＝150x﹣112.5； （3）∵s3＝150x﹣112.5， ∴当s3＝0时，x＝0.75，

即第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时．