华师大八年级下第17章反比例函数与三角形综合题专训含答案 (6)

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华师大版八年级下册第１７章反比例函数与三角形综合题专训（含答案） 一、反比例函数与等腰三角形结合

试题１、（2015常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．

（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．

提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1，

把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y=，得k=4．

解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），

则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP．

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设直线AP的解析式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC =OCAR+OCPS =×3×4+×3×1=

，

∴S△PAB=2S△AOP=15；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y=，

设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q， 联立

，解得直线PA的方程为y=x+﹣1，

联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1，

∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴H（m，0），

∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ． 理由如下：

过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．

可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有

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，

解得：，

∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． 当y=0时， x+﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）．

同理可得E（c+4，0），

∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED．

∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．

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试题２、（2016黄冈校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．

【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2．

设C1（x，2x），则得x2+（2x﹣2）2=22， 解得

，得C1（

），

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2， 设C2（x′，2x′），则得x′2+（2x′）2=22，解得∴C2（

），

）， =

，

又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（

），

），（

），

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（（

），C4（

）．