高中数学 专题1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）

【教学目标】

12

1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．

x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 【教法指导】

本节学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 12

本节学习难点：能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．

x【教学过程】 ☆复习引入☆ 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．

☆探索新知☆ 探究点一 几个常用函数的导数

思考1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ Δy答 (1)计算，并化简；

Δx(2)观察当Δx趋近于0时，

Δy趋近于哪个定值； ΔxΔy(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数． Δx思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y＝c，②y＝x，③y＝x， 1

④y＝，⑤y＝x.

2

xΔy答 ①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝Δlim ＝ x→0Δx11

－x＋Δxxlim ＝Δlim Δx→0x→0xΔx1⑤y′＝.

2x思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

1

－11

＝－2(其它类同)，

x＋Δxx(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？

思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？

答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，

y′＝4.

(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．

(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．

函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．

1

思考5 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)

x处的切线方程．

11

答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－2发现，当x<0时，

xx1

随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越

x来越慢．

1

点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－2＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.

1思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 探究点二 基本初等函数的导数公式

思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例． 例1 求下列函数的导数：

2

π143x(1)y＝sin；(2)y＝5；(3)y＝3；(4)y＝x；

3x(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0；

(2)y′＝(5)′＝5ln 5；

xx?1?－3－4

(3)y′＝?3?′＝(x)′＝－3x；

?x?

331343

(4)y′＝(x)′＝(x)′＝x－＝；

4444

4x(5)y′＝(log3x)′＝

1

. xln 3

反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以π3π?π?下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现?sin?′＝cos这样

3?323?的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数：

1x18

(1)y＝x；(2)y＝()；(3)y＝xx；(4)y＝logx.

23

例2 判断下列计算是否正确．

π

求y＝cos x在x＝处的导数，过程如下：

3

y′|x＝＝?cos?′＝－sin ＝－

3

π?3?

π?

?

π33. 2

解 错误．应为y′＝－sin x， ππ3

∴y′|x＝＝－sin ＝－.

332

反思与感悟 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．

3

跟踪训练2 求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数． 1

解 f′(x)＝(ln x)′＝，

x∴f′(1)＝1，

∴函数f(x)在x＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用

按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．

例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

2

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练3 点P是曲线y＝e上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1， 即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e)′＝e，

∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2

. 2

xxxxx☆课堂提高☆

1．下列结论中正确的个数为( )

112

①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2，则y′|x＝3＝－；

2x27③y＝2，则y′＝2ln 2；④y＝log2x，则y′＝A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 D

xx1

. xln 2

4