各种数

各种数

一．简单的： 自然数

用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数包括0。自然数包括全体非负整数（小数不算）。

整数

整数（Integer）：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、… (n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n可以是负（n∈Z-）

非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．

负数

负数是数学术语，指小于0的实数，如?3。负数是同绝对值正数的相反

数。任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”标记，如?2，?45，?0.6等。

分数

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。表

示这样的一份的数叫分数单位。分数也有“成绩”的意思，如考试分数（我心中的痛）。

单位分数

分子是1，分母是等于或大于2的自然数的分数叫做单位分数，记为1/n.单位分数又叫分数单位或“单分子分数”，它还有一个名称“埃及分数”。 1页

二进分数（有些复杂）

二进分数，也称为二进有理数，

是一种分母是2的乘方的分数。可以表示成a/2^n，其中，a 是一个整数，n 是一个自然数。例如：1/2，3/8，而1/3就不是。(英制单位中广泛采用二进分数，例如3/4英寸，1/16英寸，1/2磅。)所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的：任何实数x都可以用形为的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集，例如有理数相比，二进分数是相对“小”的稠密集，这就是为什么它们有时出现在证明中（例如乌雷松引理）。

任何两个二进分数的和、积，与差也是二进分数：

alt=\但是，两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此，二进分数形成了有理数Q的一个子环。

有限小数

位数有限的小数叫做有限小数。

或者如果一个小数的小数点后数码，依次可以和实无穷的自然数数列 1，2，3，?，n，? 一一对应，那么这个小数就是无限小数。

如果一个小数的小数点后数码，从某个有限大的 n 之后全部为0，那么这个小数就是有限小数。从这种意义上讲，有限小数可以看作一种特殊的无限小数。

无限小数

无限小数是指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。包括分数和无理数。

循环小数

循环小数英文名：circulating decimal

两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；一种，得到无限小数（本段废话——王子铮吐槽）。

从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333?（循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如：

2.966666... 缩写为 2. 96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”） 2页

35.232323?缩写为 35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）

循环小数可以利用等比数列求和（后有介绍：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。

所以在数的分类中，循环小数属于有理数。

P.S.等比数列

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1 时，an为常数列。

质数

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想（后有介绍：哥德巴赫猜想）等。算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。

P.S.哥德巴赫猜想：在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

规矩数（异常坑爹）

规矩数（又称可造数）是指可用标尺作图方式作出的实数。在给

定单位长度的情形下，若可以用标尺作图的方式作出长度为 a 的线段，则 a 就是规矩数。规矩数的「规」和「矩」分别表示圆规及直尺，两个标尺作图的重要元素。

有理数

有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

同余

数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果二整数α、b)满足m│α-b)(α-b)被m整除),就称整数α、b)对模m同余，记作α呏b)(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。（3）

二．有点难度： 无理数（可以不看）

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”（第四句开始一堆垃圾）。

高斯整数（有点复杂）

高斯整数是实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数。也就是复平面中点集{a+bi|a,b 都是整数}。

超越数（数学明星！）

超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：

a=0.110001000000000000000001000?，并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。

代数数（这个幼稚的名字涉及高等数学知识）

满足形如a_n x^n+a_(n-1) x ^(n-1)+?+a_1 x+a_0= 0（n为正整数，a_n≠0）的某整系数代数方程的复数。其中首项（最高次项）系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。 例如是一个实代数数，它满足方程x^2－2=0 。再如全体有理数及i (=√-1)等都是代数数。每个有理数都是代数数，因为它满足方程 nx-m =0（m，n为整数 ，n≠0）。可见代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。 （我靠——吐槽）

二次无理数（同样坑）

数论上，二次无理数是某些有理数系数的一元二次方程的根。若将所有系数乘以分母的最小公倍数，即可将系数转换为整数。因此所有二次无理数都可以表示成ax+b√x，其中

a,b,c为整数。二次无理数是一个可数集。 4页