1990考研数二真题及解析

Born to win

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

3???x?costt?(1) 曲线?上对应于点点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. 36??y?sint(2) 设y?etan1x?sin1,则y??＿＿＿＿＿＿. x(3)

?10x1?xdx?＿＿＿＿＿＿.

(4) 下列两个积分的大小关系是：(5) 设函数f(x)????1?2edx＿＿＿＿＿＿ ?edx.

?2?x3?1x3?1, |x|?1,则函数f[f(x)]?＿＿＿＿＿＿.

0, |x|?1?

二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?x2?(1) 已知lim??ax?b??0,其中a,b是常数,则 ( )

x??x?1??(A) a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1

(2) 设函数f(x)在(??,??)上连续,则d?f(x)dx?等于 ( )

???(A) f(x) (B) f(x)dx (C) f(x)?C (D) f?(x)dx

2(3) 已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)],则当n为大于2的正整数时,f(x)

(n)的n阶导数f(x)是 ( )

(B) n[f(x)]n?1(A) n![f(x)]2nn?1

(C) [f(x)] (D) n![f(x)] (4) 设f(x)是连续函数,且F(x)?2n?e?xxf(t)dt,则F?(x)等于 ( )

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(A) ?e?xf(e?x)?f(x) (B) ?e?xf(e?x)?f(x) (C) e?xf(e?x)?f(x) (D) e?xf(e?x)?f(x)

?f(x), x?0?(5) 设F(x)??x,其中f(x)在x?0处可导,f?(0)?0,f(0)?0,则x?0

??f(0), x?0是F(x)的 ( ) (A) 连续点 (B) 第一类间断点

(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定

三、(每小题5分,满分25分.) (1) 已知lim(x??x?ax)?9,求常数a. x?a(2) 求由方程2y?x?(x?y)ln(x?y)所确定的函数y?y(x)的微分dy. (3) 求曲线y?1(x?0)的拐点. 21?x(4) 计算

lnx?(1?x)2dx.

(5) 求微分方程xlnxdy?(y?lnx)dx?0满足条件yx?e?1的特解. 四、(本题满分9分)

x2y2在椭圆2?2?1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所

ab围图形面积为最小(其中a?0,b?0). 五、(本题满分9分)

证明：当x?0,有不等式arctanx?六、(本题满分9分)

设f(x)?1??. x2?x1lnt1dt,其中x?0,求f(x)?f(). 1?tx

七、(本题满分9分)

过点P(1,0)作抛物线y?x?2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,

求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.

八、(本题满分9分)

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求微分方程y???4y??4y?eax之通解,其中a为实数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】y?13?3(x?3) 88【解析】将t???313,yt???; 代入参数方程得x,y在t?处的函数值:xt???668866得切点为(313,). 88过已知点(x0,y0)的法线方程为y?y0?k(x?x0),当函数在点(x0,y0)处的导数

y?x?x?0时,k?0?1.所以需求曲线在点t?处的导数.

6y?(x0)由复合函数求导法则,可得

dydydtdy???dxdtdxdt3sin2tcostdx??tant, ?2dt?3costsint Born to win

y?xt????61； 313?3(x?3). 88法线斜率为k?3.所以过已知点的法线方程为y?【相关知识点】复合函数求导法则：

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x)或??. dxdxdudx1tan??tan1?1?111?1?2(2)【答案】?ex?sec?2??sin?ex?cos?2?

xx?xxx???【解析】原函数对x求导,有

??tan1??1??tan11tan11???xxxy???e?sin???e??sin?e??sin?

x??xx?????etan1x1??1tan11?1???x?tan??sin?e?cos??

x?xx?x??1tan??tan1?1?111?1?2??ex?sec?2??sin?ex?cos?2?. xx?xxx???【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：

?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).

2.复合函数的求导法则:

如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)? 在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x)或??. dxdxdudx(3)【答案】

4 15【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.

方法1：换元法,令1?x?t,原积分区间为0?x?1,则0?1?x?1,进而0?1?x?1,新积分区间为0?t?1；当x?0时,t?1,当x?1时,t?0,故新积分上限为0,下限为1.

d1?x?dt?dt??1?1dx?dx,则dx??2tdt.

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