北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在

格的

黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？ 图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,

,到达标64的

方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内. 若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,处所标的数应为____.

,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A

【答案】 (1). 能 (2). 【解析】 【分析】

根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字． 【详解】如图所示：

如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内， 如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，

依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，

故A处应该为8， 故答案为：能，8

【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题 14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.

【答案】【解析】 【分析】

设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.

高为

，

【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为阴影面积为：

,

当

时，阴影面积的最大值为

故答案为：

【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.在（1）求（2）求

中，已知的长； 边上的中线

（2）

的长.

，

【答案】（1）【解析】 【分析】

(1)利用同角关系得到（2）在

中求出

，结合正弦定理即可得到，结合余弦定理即可得到，

，所以

的长； 边上的中线.

的长.

【详解】解：（1）由

由正弦定理得，，即.

（2）在中，

, .

.

.

由余弦定理得，所以所以

【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题. 16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表： 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A C C C A C A B A 2420 2580 2470 2540 2430 2400 2440 2500 2440 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B A A A B B B A A 2500 2460 2460 2500 2500 2450 2460 2460 2540 （1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望； （2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）. 【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B 【解析】 【分析】

(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望； （2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．

【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.