12-8高等数学同济大学第六版本

习题12?8 1? 求下列微分方程的通解? (1)y???y??2y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?r?2?0? 即(r?2)(r?1)?0? 其根为r1?1? r2??2? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e?2x? (2)y???4y??0? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?0? 即r(r?4)?0? 其根为r1?0? r2?4? 故微分方程的通解为 y?C1?C2e4x? (3)y???y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?1?0? 其根为r1?i? r2??i? 故微分方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x? (4)y???6y??13y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?6r?13?0? 其根为r1??3?2i? r2??3?2i? 故微分方程的通解为 y?e?3x(C1cos2x?C2sin2x)? 2dx?20dx?25x?0 (5)42? dtdt 解 微分方程的特征方程为 4r2?20r?25?0? 即(2x?5)2?0? 其根为r1?r2?5? 故微分方程的通解为 2 5t5t2x?C1e?C2xe2? 5t即x?(C1?C2t)e2? (6)y???4y??5y?0?

解 微分方程的特征方程为 r2?4r?5?0?

其根为r1?2?i? r2?2?i? 故微分方程的通解为 y?e2x(C1cos x?C2sin x)? (7)y(4)?y?0?

解 微分方程的特征方程为 r4?1?0? 即(r?1)(r?1)(r2?1)?0

其根为r1?1? r2??1? r1??i? r2?i? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e?x?C3cos x?C4sin x? (8)y(4)?2y???y?0?

解 微分方程的特征方程为 r4?r2?1?0? 即(r2?1)2?0?

其根为r1?r2??i? r3?r4?i? 故微分方程的通解为 y?(C1?C2x)cos x?(C3?C4x)sin x? (9)y(4)?2y????y???0? 解 微分方程的特征方程为 r4?2r3?r2?0? 即r2(r?1)2?0?

其根为r1?r2?0? r3?r4?1? 故微分方程的通解为 y?C1?C2x?C3ex?C4xex? (10)y(4)?5y???36?0? 解 微分方程的特征方程为 r4?5r2?36?0?

其根为r1?2? r2??2? r3?3i? r4??3i? 故微分方程的通解为 y?C1e2x?C2e?2x? C3cos3x?C4sin3x? 2? 求下列微分方程满足所给初始条件的特解? (1)y???4y??3y?0? y|x?0?6? y?|x?0?10? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0? 其根为r1?1? r2?3? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e3x?

由y|x?0?6? y?|x?0?10? 得

?C?C?6 ?12?

C?3C?102?1解之得C1?4? C2?2? 因此所求特解为 y?4ex?2e3x? (2)4y???4y??y?0? y|x?0?2? y?|x?0?0? 解 微分方程的特征方程为 4r2?4r?1?0? 即(2r?1)2?0? 其根为r1?r2??1? 故微分方程的通解为 2 ?1xy?e2(C1?C2x)? 由y|x?0?2? y?|x?0?0? 得 ??C1?2 ?1? ?C?C?0??212解之得C1?2? C2?1? 因此所求特解为 ?1xy?e2(2?x)? (3)y???3y??4y?0? y|x?0?0? y?|x?0??5? 解 微分方程的特征方程为 r2?3r?4?0? 即(r?4)(r?1)?0? 其根为r1??1? r2?4? 故微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e4x? 由y|x?0?0? y?|x?0??5? 得 ?C?C?0 ?12? ?C?4C??52?1解之得C1?1? C2??1? 因此所求特解为 y?e?x?e4x?

(4)y???4y??29y?0? y|x?0?0? y?|x?0?15? 解 微分方程的特征方程为

r2?4r?29?0?

其根为r1? 2??2?5i? 故微分方程的通解为 y?e?2x(C1cos5x?C2sin5x)? 由y|x?0?0? 得C1?0? y?C2e?2xsin5x? 由y?|x?0?15? 得C2?3? 因此所求特解为y?3e?2xsin5x? (5)y???25y?0? y|x?0?2? y?|x?0?5? 解 微分方程的特征方程为 r2?25?0?

其根为r1? 2??5i? 故微分方程的通解为 y?C1cos5x?C2sin5x?

由y|x?0?2? 得C1?2? y?2cos5x?C2sin5x? 由y?|x?0?5? 得C2?1?

因此所求特解为y?2cos5x?sin5x? (6)y???4y??13y?0? y|x?0?0? y?|x?0?3? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?13?0?

其根为r1? 2?2?3i? 故微分方程的通解为 y?e2x(C1cos3x?C2sin3x)? 由y|x?0?0? 得C1?0? y?C2e2xsin3x? 由y?|x?0?3? 得C2?1? 因此所求特解为y?e2xsin3x?

3? 一个单位质量的质点在数轴上运动? 开始时质点在原点O处且速度为v0? 在运动过程中? 它受到一个力的作用? 这个力的大小与质点到原点的距离成正比(比例系数k1?0)而方向与初速一至? 又介质的阻力与速度成正比(比例系数k2?0)? 求反映这质点的运动规律的函数?

解 设数轴为x轴? v0方向为正轴方向? 由题意得微分方程 x???k1x?k2x?? 即x???k2x??k1x?0? 其初始条件为x|t?0?0? x?|t?0?v0?