高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象学案新人教A版必修4

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．正弦曲线

正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．

图1-4-1

2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：

①利用单位圆中正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：

①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，?(2π，0)，用光滑的曲线连接；

②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线

余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．

?π，1?，?3π，－1?，

(π，0)，??2?

?2???

图1-4-2

4．余弦函数图象的画法

π

(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．

2(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别

?π??3π?为(0,1)，?，0?，(π，－1)，?，0?，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． ?2??2?

思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？

1

π?π?[提示] 因为cos x＝sin?x＋?，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得

2?2?

y＝cos x(x∈R)的图象．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )

(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．( ) (3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( ) [解析] 由y＝sin x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误； 由y＝cos x(x∈R)图象可知(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)×

2．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．

x －sin x 0 ② π 2－1 ① 0 3π 2③ 2π 0 ①________；②________；③________. π 0 1 [用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，

?π，－1?，(π，0)，?3π，1?，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.] ?2??2?????

1

3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．

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2 [由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]

2

[合 作 探 究·攻 重 难]

正弦函数、余弦函数图象 (1)下列叙述正确的是( ) 的初步认识 ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围. A．0 C．2个

(2)函数y＝sin|x|的图象是( )

B．1个 D．3个

2

(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．

??sin x，x≥0，

(2)y＝sin|x|＝?

?－sin x，x＜0，?

结合选项可知选B.]

[规律方法] 1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．正、余弦曲线的对称性

y＝sin x(x∈R) y＝cos x(x∈R) 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z π2?kπ＋π，0?，k∈Z ??2??提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1. [跟踪训练]

1．关于三角函数的图象，有下列说法：

①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点； ②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；

③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是________．

②④ [对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；

对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]

(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；

用“五点法”作三角函数的图象 用“五点法”作出下列函数的简图． (2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π). 【导学号：84352075】

3

[思路探究] →用平滑曲线连接

π3π

列表：让x的值依次取0，，π，，2π

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→描点

[解] (1)①取值列表如下：

x sin x 1－sin x ②描点连线，如图所示.

0 0 1 π 21 0 π 0 1 3π 2－1 2 2π 0 1

(2)①取值列表如下：

x cos x －1＋cos x ②描点连线，如图所示． 0 1 0 π 20 －1 π －1 －2 3π 20 －1 2π 1 0

[规律方法] 用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤

(1)列表：

x sin x (或cos x) 0 0(或1) π 21(或0) π 0(或－1) 3π 2－1(或0) －A＋b (或b) 2π 0(或1) y b(或A＋b) A＋b (或b) b(或－A＋b) b(或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，?

?π，y2?，(π，y)，?3π，y4?，

?3?2??2???

(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．

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