2009年高考试题——数学理(陕西卷)解析版

又??(0,,故f(x)?2sin(2x?)

266????7?（2）Qx?[,],　　　　?2x??[,]

122636????7?当2x?=，即x?时，f(x)取得最大值2；当2x??

62666即x??),??????2时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2]

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，

A1 C1 AC?AA1?3，∠ABC=600.

(Ⅰ)证明：AB?A1C；

（Ⅱ）求二面角A—A1C—B的大小。

B1 A C B 18.（本小题满分12分）

解答一（1）证： Q三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1

在?ABC中，AB?1,AC?3,?ABC?600,由正弦定理

?ACB?300

??BAC?900即AB?AC

AB?平面ACC1A1,又A1C?平面ACC1A1即AB?A1C

（2）解如图，作AD?A1C交A1C于点D点，连结BD， 由三垂线定理知BD?A1C

??ADB为二面角A?AC1?B的平面角

在Rt?AAC1中，AD?AA1?AC3?36 ??AC261

Rt?BAD中,tanADB=??ADB=arctanAB6?AD366,即二面角A?AC1?B的大小为arctan33

解答二（1）证Q三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?600，

由正弦定理?ACB?30

0??BAC?900即AB?AC如图，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0),B(1,0,0)C(0,3,0),A1(0,0,3)

uuuvuuuv?AB?(1,0,0),AC?(0,3,3)1uuuvuuuvQAB?AC?1*0?0*3?0*(?3)?0 1?AB?AC1uuuv(2) 解，如图可取m?AB?(1,0,0)为平面AA1C的法向量

设平面A1BC的法向量为n?(l,m,n)，

uuuvuuuvuuuv则BC?n?0,AC （?1，3，0）1?n?0,又BC????l?3m?0???l?3m,n?m ??3m?3n?0不妨取m?1,则n?(3,1,1)

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??

222222m?n5(3)?1?1?1?0?01519．(本小题满分12分) 5?二面角A?AC?BD的大小为arccos1 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如下：

? 0 p

0.1 1 2 3 a 0.3 2a

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

??的概率分布为

? P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

1P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]2?0.32?0.09?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

a2ax2?a?2??, 20. 解（Ⅰ）f'(x)?22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)1?a?2?0,解得a?1. ∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即ag2ax2?a?2, （Ⅱ）f'(x)?2(ax?1)(1?x)∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??).

②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a,由f'(x)?0解得x?a2?a, a∴f(x)的单调减区间为（0，2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a)?f(0)?1, 处取得最小值f(aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21．（本小题满分12分）

y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距2ab离为25。 5（I）求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐

uuuruuur1近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，

3求?AOB面积的取值范围。

21．（本小题满分14分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为. 25（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，

uuuruuur1二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

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