广东省高州长坡中学2011届高三第二次月考理科数学试题

21．（本小题满分12分）已知函数函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线

x?1对称。

（1）求f(0)的值

（2）证明函数f(x)是周期函数

（3）若f(x)?x(0?x?1),求x?R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函

数f(x)至少一个周期的图象。

22．（本小题满分14分）已知函数f(x)? （1）求a的值

（2）试研究函数f(x)的单调性，并比较f(t)与2[来源:Zxxk.Com]

（3）设g(x)?(2?x)f(x)?m(x?2)?2，是否存在实数m使得y?g(x)有零点？

若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

2t?2ta?x (常数a?0)，且f(1)?f(3)??2. a?x (?23?t?且t?0)的大小32

参考答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，60分） 一、选择题：（每题5分）

题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D 11 D 12 C 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 二、填空题：（每题4分） 13．（0，1] 14．13 15． f(x)?54921○2○4○5 x?x?1 16． ○

22三、解答题（共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．

解：由2-x?3?0且x?1?0 x?1可得 A={xx＜-1或x≥1} 又 B={x（x-a-1）（x-2a）< 0} ∵φ≠B?A， ∴① ??a?1?2a ∴a＞1

?2a??1或a?1?1

?a?1?2a1或②? ∴a≤-2或≤a＜1；

2?a?!??1或2a?1∴a＞1或a≤-2或

1≤a＜1； 218．解：（1）由题意有：f(-1)=a-b+1=0

又 ?b = -1 故而 a=1 ，b=2 2a2即y = x?2x?1

（2 ） 由 f(x)> x+ k 有x?x?1?k

问题转化为求函数g(x)?x2?x?1在x?[-3，-1]上的最小值 又函数g(x)?x2?x?1在[-3，-1]上为减函数 故g(x)min=g(?1)=1 所以k < 1

219．证明：（1）令 x1=x2=1 则f(1)=2f(1) 解得f(1)=0

令 x1=x2= -1 则f(1)=2f(-1) 解得f(-1)=0 令 x2= -1 x1=x 则f(-x)=f(x) 故函数f(x)在定义域上为偶函数

（2）由f(1)=f(x?

设 0

111)=f(x)+f()=0 可得f()= -f(x) xxxx2x1

>1 故而f(2)=f(x2)+f()=f(x2)-f(x1)< 0

x1x1x1

（0，??）所以f(x)在上是增函数

2解：（3）f(4)=2f(2)= 2 即f(2x?1)

22故而2x?1<4 即 -4<2x?1<4 解得?1010?x? 22?1?kx,?．解:F(x)?f(x)?kx??1?x??x?1?kx,?

对于F(x)??1?k,2?x?1,(1?x)?F'(x)????1?k,x?1,

??2x?1x?1,

x?1,1?kx(x?1)， 1?x当k?0时，函数F(x)在(??,1)上是增函数； 当k?0时，函数F(x)在(??,1?

11)上是减函数，在(1?,1)上是增函数； kk

对于F(x)??1?k(x?1)，

2x?1

当k?0时，函数F(x)在?1,???上是减函数； 当k?0时，函数F(x)在?1,1?

??1?1??上是减函数，在1?,????上是增函数。 2?4k2?4k??21．（1）解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)= -f(x)

又f(x)的定义域为R，令x =0 则f(-0)= -f(0) 所以f(0)=0

（2）证明：因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)= -f(x) ，

又函数f(x)的图象关于直线x?1 对称。所以f(-x)= f(2?x) 即f(2?x)= -f(x)

所以f(4?x)= -f(2?x)= f(x) 即f(x)是以4为一个周期的周期函数 （3）解：设-1?x?0时，则0??x?1 所以f(-x)= -x 又f(-x)= - f(x) 所以f(x)= x 又f(0)= 0 所以当-1?x?1时f(x)= x

当1?x?3时，-3??x??1，则-1?2?x?1

所以f(2-x)= 2 -x，而函数f(x)的图象关于直线x?1 对称， 所以f(2-x)=f(x)，即f(x)=2 -x 所以f(x)=?

?x,?1?x?1 ，

?2?x,1?x?3?x?4k,?1?x?4k?1 （k?Z）

?4k?2?x,4k?1?x?4k?3a?1a?3?= - 2 a?1a?3

从而有f(x)=?『图象略』

22．解（1）由f(1)?f(3)?

有 a(a?2)?0 又a?0 所以a?2

（2）由（1）知函数f(x)?2?x（-?，2）?（2，??），其定义域为

2?x（-?，2）设x1、x2? 且x1

f(x1)- f(x2) =

2?x12?x2（4x1?x2) - = ?0, 2?x12?x2(2?x1)(2?x2)

（-?，2）即f(x1)

2x?22（-?，0）（0，??）??2，则函数h(x)在区间、上是增函数

xx2212h(t)?11（-，0）故当t?时，f(t)>f(?)=, h(t)22t?2t

1033310h(t)3（0，）当t?时， f(t)h()=, 2>23>2=8

2232所以 f(t)<22t?2t

2t?2t（-，0）综上，当t?时，f(t)>2（3）g(x)?23（0，）； 当t?时，f(t)<2322t?2t

2?x?m(x?2)?2，x?2

由题意可知，方程2?x?m(x?2)?2?0 在xx??2且x?2中有实数解

2令2?x?t 则t?0且t?2，问题转化为关于t的方程mt?t?2?0○1

??有非负且不等于2的实数根

2若t =0，则○1为2=0，显然不成立，故t?0，方程○1可变形为m??2()?,

1t1t问题进一步转化为求关于t的函数（t?0且t?2）的值域

1, 21211（-?，0）?（0，] 所以m??2()??

tt81（-?，0）?（0，]所以实数m的取值范围是

8因为t?0且t?2，所以?0且?

1t1t来源学科网ZXXK]