等差数列的性质

3.2等差数列的性质

教学目标：

1、掌握等差中项的概念和应用。

2、理解等差数列的简单性质。

3、理解和掌握等差数列通项公式的一般形式an?am??n?m?d以及其推导过程。

教学重难点：

1、 等差中项的应用。

2、 等差数列通项公式的一般形式an?am??n?m?d的推导及应用。

3、 等差数列其他性质的推究。

内容分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数列的性质。

教学过程：

1、 复习回顾：

等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等

差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示。

等差数列的通项公式：an?a1??n?1?d，（n=1、2、3……）

?an?是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列?a2n?1???a2n??还是等差

数列，公差是2d。

新课讲授：

ⅰ思考题目：在x、y之间插入一个数A，使得x、A、y成等差数列，问A与x、y之间有何关

系。（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分析推导过程）

评讲及过程分析： A—x=y—A ………………（根据等差数列的定义） 2A=x+y A=

x?y 2x?y。 2归纳：若x、A、y成等差数列，则A=提问 反过来若A=

x?y，是否能推倒出若x、A、y成等差数列？ 2x?y（充要条件） 2 （先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A—x=y—A，则x、A、y成等差数列。 总结：x、A、y成等差数列? A=

定义：若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项。 拓展提问：

①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？

（中间项×2=两端项之和）

②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗?

（对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项

对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项）

例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？

分析讲解：设这3个数分别是x、y、z，由9、x、y、z、17成等差数列，等差数列中下标为

奇数的项也成等差数列，则

y=

9?179?y9?13y?1713?17?13，x=??11，z=??15 22222 ⅱ提问：等差数列的通项公式an?a1??n?1?d，求an，若不知a1，已知a2是否可以求an？

a3、a4呢？（讨论思考）

解答分析：思路一

an?a1??n?1?d an?a1??n?1?d an?a1??n?1?d

=（a1?d）??n?2?d = （a1?2d）??n?3?d =（a1?3d）??n?4?d =

a2??n?2?d =a3??n?3?d =a4??n?4?d

观察：所求项的下标=已知项的下标+d的系数

才想：是否可以一般化为an?am??n?m?d （请同学们思考，请同学回答） 讲评分析：an?a1??n?1?d① am?a1??m?1?d②

①-②得： an?am?a1??n?1?d?a1??m?1?d=?m?n?d 所以an?am??n?m?d（当m=1时，即为通项公式）

思路二：a1、a2、a3?am?1,am?an成等差数列，将a1、a2?am?1去掉，余下的am?an ，n-m+1

项仍为等差数列，则am为新的等差数列的首项，公差d不变，由通项公式有

an?am??n?m?1?1?d?am??n?m?d； 问：n、m的大小有规定吗？

① n>m时，从推导过程看成立； ② n=m时，成立；

③ n

an?am??n?m?d

总结：an?am??n?m?d成立，只需满足m、n??即可。

? 例：等差数列中，a18?95,a32?123,an?199，求n.。（让学生思考解答） 首先确立函数的方程，由

an?am??n?m?d 有 a32?a18??32?18?d?123?95?14d?d?2 an?a18??n?18??2?199?95?2??n?18??n?70

归纳：两次运用了an?am??n?m?d

ⅲ 提问：从等差数列中取4项，下标分别为：n ,m ,k ,l 且n+m=k+l，则相应的项an,am,ak,al有

什么关系？（请学生思考解答）

分析讲评：an?a1??n?1?d① am?a1??m?1?d② ak?a1??k?1?d③ al?a1??l?1?d④ ①+②得 an?am?2a1??n?m?2?d ③+④得 ak?al?2a1??k?l?2?d

由n+m=k+l 得2a1??n?m?2?d?2a1??k?l?2?d an?am?ak?al

当k=l时n+m=2k an?am?2ak，ak为an、am的等差中项。 例 a3?a4?a5?a6?a7?450，问 a2?a8?？（学生思考回答） 分析讲评： a3?a7?a4?a6? 2a5?a59?0 则a2?a8?2a5?180 巩固练习：

（1）已知a3?9，a9?12求a12

（2）?an?是等差数列，已知a1?a6?12问a4?7求a9

（3）3个数成等差数列，他们的和为18，平方和为116，求这3个数。 课堂小结：

（1）若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项，且满足

x、A、y成等差数列? A=

x?y（充要条件） 2 （2）取等差数列中下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列还是等差数列，公差

是2d (3) 等差数列通项公式的一般形式:an?am??n?m?d( m、n??)

? （4）取等差数列中的4项，an,am,ak,al，若n+m=k+l，则an?am?ak?al 课后作业：

课本第115页，第3、10、11题。