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级数或等比级数),作为
?￥vn;②重点考察极限结果l,l应在0,￥之间.
n=1例6 判别级数
?￥n=14n-1的敛散性. n2+1￥?n14n-1分子n的最高次幂为1ü1?通项接近=,分析: 考虑通项2:因此就把数作y?2?nnn+1分母n的最高次幂为2?n=1nt￥?vn.
n=14n-1￥￥24n-14n2-n1n+1解 由于lim是发散的,则原级数?也发散. =lim2=4,又?2nn1n+1n=1n+1n=1nnn2+1例7 判别级数?ln的敛散性.(前例5) 2nn=1￥分析: 在例5中已经判断了它的敛散性，若不熟悉前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论1.1.把ln??1+骣1÷骣1÷?uvu作为,再找一个,观察到中,有对数函数ln1+÷÷?nnn2÷??桫n桫n2÷n骣1÷11+=e出现,考虑用第二重要极限lim?,取. v=÷?n2n?桫n÷n骣1÷ln?1+2÷n2?￥÷?骣1桫n1÷解 因为lim,又收敛,故原级数也收敛. =limln?1+=1÷??2?nn1桫n2÷nn=12n注：比较判别法是据已知的收敛级数或发散级数作比较对象来判别其收敛性.当用等比级数作为比较对象时,就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法.
在正项级数的敛散性审敛法中,达朗贝尔(D’A Lambert)比式法和柯西(Cauchy)根式法是两个既简单又有实用价值的常用判别法.这两个正项级数的审敛法,都是用等比级数作标准,用比较判别法推证的,之所以方便,就是它们不像比较判别法那样,要研究一个正项级数的敛散性,必须以另一个已知敛散性的正项级数作为比较的对象;它们只依靠级数自己本身的项的性质就可以做出判断.
问题3：在何种情况下使用达朗贝尔判别法比较方便？达朗贝尔判别法适用范围如何？ 请举例说明？ 答：首先看下面例题：
- 5 -
(n!)例8 判别级数?的收敛性.
n=1(2n)!￥2(n!)u(n+1)(n+1)1=<1,由达朗贝尔判别法知,级解 因为un=,所以limn+1=limnn(2n+1)(2n+2)un4(2n)!(n!)数?收敛. n=1(2n)!￥22注：在达朗贝尔判别法的应用中，存在两点不足:
① 当l=1时,判别法失效,既有收敛的,也有发散的级数. 例9 级数
?￥n=1an+1n21=lim=1=l,即达朗贝尔判别法失效. 是收敛级数,此时lim2nnann2(1+n)例10 调和级数
?￥n=1an+1n1=lim=1=l,即达朗贝尔判别法也失效. 是发散的,但limnnn+1ann② 达朗贝尔判别法可能由于l根本不存在而失效。 例11
?￥3(-1)-nn=n=1111111++++++?. 214365333333nan+1an+1an+11(-1)-n=3,lim==l不存在,但是?3解 因为lim,则有lim是收敛级
nnnanan27an数. 例12
?￥3n-(-1)n=32+31+34+33+36+?.
n=1￥nan+11an+1an+1n-(-1)=,lim=27,则有lim=l不存在,但是?3解 因为lim是发散级
nnan3nanann=1数.
问题4：如何使用柯西判别法？柯西判别法适用范围如何？ 请举例说明？
答：首先看下面例题：
例13 判别级数
?￥nlnnn=2(lnn)lnnnn的收敛性.
解 因为通项中有以对数为指数的因子,宜用柯西判别法.
2lnx2lnx2ne=lim=lim=0, ,而limlimnun=lim=limnnnxnnlnnnxxlnnlnn?lnnn - 6 -
lnn￥nln2ne故lim收敛. =0,即有limnun=lim=0<1,由柯西判别法知,级数?nnnnnlnnn=1(lnn)ln2nn注：在柯西判别法的应用中，存在两点不足:
① 当l=1时,判别法失效,既有收敛的,也有发散的级数. (如前面的例9、例10) ② 柯西判别法可能由于l根本不存在而失效.
轾(-1)n+5例14 ?犏犏2n=1臌￥-n=111111+2+3+4+5+6+?. 232323￥-n轾(-1)n+511nnn解 因为liman=,liman=,则有liman=l不存在,但是?犏犏2nn2n3n=1臌敛的.
是收
轾(-1)n+5例15 ?犏=2+32+23+?.
犏2n=1臌￥n轾(-1)n+5nnn解 因为liman=3,liman=2,则有liman=l不存在,但是?犏是发散
犏nnn2n=1臌￥n的.
问题5：达朗贝尔判别法与柯西判别法有何关系？如何选择方法？ 答：推论
2.1、3.1的条件,由limnan+1=l,可推出limnan=l,说明能用达朗贝尔判别法
nan的推论鉴别收敛性的级数,也能用柯西判别法的推论来判断,且柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效.例如级数
?￥2+(-1)2nn用柯西判别法的推论知它是收敛的,但用达朗贝尔判别法的推论
n=1就无法判别.
由此可以看到达朗贝尔判别法与柯西判别法有相同的地方,而且它们之间有一定的联系.因为,如果limnan+1按有限值或无穷的意义存在的,那么limnan也存在,如果达朗贝尔判别法有
nan效,柯西判别法也有效,而且由于相同的理由达朗贝尔判别法的两个例子也能作为柯西判别法失
效的例子.但是它们之间也有不同的地方.如果达朗贝尔判别法失效,用柯西判别法却有可能成功.
认真研究上面的例子,通过鉴别,得出:
第一,若正项级数的一般项中含有n!因子,则用达朗贝尔比式审敛法判断其敛散性比较方便.若正项级数的一般项中含有n次方因子,则用柯西根式判别法判断其敛散性比较方便.
第二,在实用上,达朗贝尔比式法比柯西根式法通常更简便些;但从理论上讲, 达朗贝尔比式法不如柯西根式法好.这是因为:首先, 达朗贝尔比式法必须通过级数本身相邻两项的比值的极限值,来判定级数是否收敛,并且项不能为零;而柯西根式法只要根据级数本身一项的n次方
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根的极限值,就能对级数的敛散性作出判定,并且一般项可以为零.
其次,可以证明:凡能用达朗贝尔比式法解决的问题,用柯西根式法一定能解决;此结论对一般情况也是成立的.
达朗贝尔判别法(或柯西根式法),只适用于和某个几何级数收敛(或发散)速度相当或收敛(或发散)得更快的级数.对于那些比任何几何级数收敛(或发散)得慢的级数来说,再用达朗贝尔比式法(或柯西根式法)去判别其敛散性,即再用几何级数这把“尺子”作标准来“度量”它们的敛散性已“量”不准了,为此,必须选用比几何级数收敛(或发散)得更慢的正项级数作为比较的标准,即选用“精度更高的尺子”作标准,以便更准确地确定出某些级数的敛散性.
一般情况下,在判别正项级数的敛散性时,若所求级数通项中出现对数,三角函数的有理式等到形式时,考虑用比较判别法及其推论,既省力又简单;若出现an(指数)、n!等形式时,考虑用达朗贝尔判别法;若出现n的n次幂时,考虑用柯西判别法,判别敛散性往往较好一些.
判别级数的敛散性这一重要问题,就一般级数而言,可用一般“数学分析”教材中通常介绍的几个判别法来解决,特别常用的就是达朗贝尔比式法和柯西根式法. 但有些级数用此二法不
an+1nnlim=1.此时达朗贝能判定其敛散性. 如判定?的敛散性,用达朗贝尔判别法知nnan!e()n=1n￥尔判别法失效.
对于此类级数,若用达朗贝尔或柯西判别法判定其敛散性失效后,除可考虑用比较判别法等其它判别法判别外,我们还可用以下得出的判定法,判定这类级数的敛散性.
问题6：当前面提到的判别法失效后还有什么方法吗？ 并举例说明。
答：达朗贝尔判别法和柯西判别法失效情况下，还有下面一些判别法：
轾a定理4 令Hn=犏n.当n充分大时,如果Hn?r犏an+1臌￥ne,则正项级数?an(an>0)收
n=1￥敛;当n充分大时, Hn?r￥e;则正项级数?an(an>0)发散.
n=1nn轾轾aa定理5 对正项级数?an,记Hn=犏n.若limHn=lim犏n=a,则当a>e时,
犏nn犏aan+1n=1臌n+1臌正项级数
?￥n=1an收敛;当a n=1￥nn例16 判定级数?的收敛性. nn=1(n!)e￥轾犏nnn轾骣a÷犏e骣n÷n?犏?÷解 因为Hn=?=犏e=犏,所以 ÷?÷n?÷犏?÷?桫an+1骣桫n+11÷犏犏臌?1+÷?犏÷?桫n臌 - 8 - n搜索更多关于： 级数敛散性 的文档
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