中考热点压轴(1) - 动点产生的相似问题

1|3?x|MN2．因此DE?5|3?x|，圆心距MN?5|6?x|． ?3653

图2 图3 图4

11511BD?y?x，在⊙N中，rN?CE?x． 226223051①当两圆外切时，x?x?5|6?x|．解得x?或者x??10．

1362630如图5，符合题意的解为x?，此时DE?5(3?x)?15．

1331351②当两圆内切时，x?x?5|6?x|．

62630当x＜6时，解得x?，如图6，此时E在CA的延长线上，DE?5(x?3)?15；

737在⊙M中，rM?当x＞6时，解得x?10，如图7，此时E在CA的延长线上，DE?5(x?3)?35．

33

图5 图6 图7

（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形． 如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．

如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时BF?125． 34

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．

例 7 （2008年杭州市）

如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数y??tx的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．

（1）是否存在这样的抛物线F，使得OA（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝

22?OB?OC？请你作出判断，并说明理由；

3，求抛物线F对应的二次函数的解析式． 2

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OA∶OB与OA∶OB′保持3∶2．

双击按钮“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，抛物线正好经过点B（或B′）．

思路点拨

1．数形结合思想，把OA2?OB?OC转化为t2?x1?x2．

2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t＝b． 3．分类讨论tan∠ABO＝

3，按照A、B、C的位置关系分为四种情况．A在y轴正半轴2时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两

侧两种情况．

满分解答

（1）因为平移y??tx的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为y??t(x?t)?b．

因为抛物线与x轴有两个交点，因此tb?0．

22令y?0，得OB?t?b，OC?t?tb)( t?tb． t所以|OB|?|OC|?|(t?bb2)|?|t? |?t2?OA2．即ttt2?b??t2．所以当b?2t3时，存在抛物线F使得|OA|2?|OB|?|OC|． t（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为y??t(x?t)?t．解得

2x1?t?1,x2?t?1．

①当t?0时，由|OB|?|OC|，得B(t?1,0)．

如图2，当t?1?0时，由tan?ABO?t3|OA|，解得t?3．此时二次函数??2|OB|t?1的解析式为y??3x?18x?24．

如图3，当t?1?0时，由tan?ABO?2t3|OA|3，解得t?．此时二次??2|OB|?t?15函数的解析式为y??321848x＋． x＋525125

图2 图3

②如图4，如图5，当t?0时，由|OB|?|OC|，将?t代t,可得t??

3，t??3．此5时二次函数的解析式为y?3218x＋x－48或y?3x2?18x?24． 525125

图4 图5

考点伸展

第（2）题还可以这样分类讨论：

因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为y??t(x?t)?t．由tan?ABO?得OB?2OA3?，OB22OA． 322①把B(t,0)代入y??t(x?t)?t，得t??3（如图2，图5）．

3322②把B(?t,0)代入y??t(x?t)?t，得t??（如图3，图4）．

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