第一章 逻辑代数基础讲义

同或逻辑表达式为Y＝·同或运算符，读法 ·真值表 ·逻辑符号

＋＝A⊙B

·异或和同或互为非运算，即A⊙B＝。

·多输入变量 Y＝ A⊙B⊙C⊙D⊙?? 其运算规则与异或逻辑相反

5. 与或非运算

与或非逻辑表达式为 Y＝·逻辑符号

三、 逻辑代数的基本公式、定律、定理和规则

逻辑代数也称二值逻辑。根据与、或、非三种基本运算规则，以及逻辑变量的值只可能是0或1的特点，可以推导出逻辑代数的基本公式、定律、定理和规则，其正确性可用真值表进行检验。

1. 基本公式

关于与的 关于或的 关于非的 0·0＝0 1+1＝1

＝1

0·1＝0 1+0＝1 ＝0

1·0＝0 0+1＝1 1·1＝1 0+0＝0

2. 基本定律

关于与的 关于或的 关于非的

0–1律 A·1＝A A+1＝1

A·0＝0 A+0＝A

互补律 A·＝0 A+

＝1

等幂律 A·A＝A A+A＝A 还原律

＝A

交换律 A·B=B·A A+B=B+A

结合律 A(BC)＝(AB)C A+(B+C)＝(A+B)+C 分配律 A(B+C)＝AB+AC A+BC＝(A+B)(A+C) 3. 基本定理

（1）摩根定理

证明：列等式两边的真值表，若两真值表一致，就证明左右两边相等。 （2）吸收定理Ⅰ

A+AB＝A

（3）吸收定理Ⅱ

A＋

（4）冗余项定理

AB＋

AB＋

＋BC＝AB＋

B＝A＋B

＋BCDE??＝AB＋

4. 基本规则 （1）代入规则

对于任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现变量A的位置都代之以同一个逻辑式，则等式仍然成立－－代入规则。

（2）反演规则

对于任何一个逻辑表达式Y，如果将Y中所有的“·”换为“＋”，“＋”换为“·”，0换为1，1换为0，原变量换为反变量，反变量换为原变量，那么所得到的新的表达式就是

。这个规则称为反演

规则。

应用反演规则时需注意以下两点：

① 不属于单个变量上的非号要保持不变；

② 运算优先顺序：括号优先，先乘后加－－先与后或。 （3）对偶规则

对于任何一个逻辑表达式Y，如果将Y中所有的“·”换为“＋”，“＋”换为“·”；0换为1，1换为0，那么所得到的新的表达式称为Y的对偶式，记为

。例如：

变换时仍需注意保持原式中先与后或的顺序。

对偶规则，是指当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。

1.2 逻辑函数的化简

化简目的：降低成本、提高可靠性 化简方法：公式法、卡诺图法 一、逻辑函数的逻辑表达式

1. 逻辑函数可采用不同的逻辑表达式描述 例如，对逻辑关系Y=AB＋

，通过公式进行逻辑变换后，可变换为以下五种不同形式的逻辑函

数表达式

Y ＝AB＋ ＝(A＋C)( ＝ ＝ ＝

（与–或表达式） ＋B) （或–与表达式）

（与非–与非表达式） 常见形式

（或非–或非表达式） （与–或–非表达式）

2. 逻辑表达式的转换方法 与或→或与―――两次求反

二、逻辑函数的代数化简法

代数化简法是利用逻辑代数的基本公式、定律、定理和规则对逻辑函数进行化简，使其成为最简与或表达式。

最简与或表达式的标准是：

(1) 表达式中所含逻辑乘积项最少。 (2) 各个逻辑乘积项中所含的变量最少。

常用的代数化简方法。 1. 并项法

利用公式AB＋

＝A，把两个乘积项合并为一个乘积项，并消去一个变量。

例1.2.1 化简下列函数为最简与或表达式 (1) Y1＝ABC＋(2) Y2＝(

＋

＋

；

)C。

)C＋(AB＋

解：利用并项法可得 Y1＝ABC＋ Y2＝(

＋

＋

＝BC＋

＝C )C＝(

＋

)C＋

C＝C

)C＋(AB＋

2. 吸收法

利用公式A＋AB＝A，吸收掉多余的逻辑乘积项。 例1.2.2 化简下列函数为最简与或表达式。

(1) Y1＝(2) Y2＝

＋＋

＋

。

；

解：利用吸收法可得

Y1＝Y2＝3. 消去法 利用公式A＋

＝A＋B，(同理

＋AB＝＋B)消去乘积项中多余的因子。

＋＋

＋

＝＝

＋(

＋

)CD＝

＋

＝

＝

＋

例1.2.3 化简下列函数为最简与或表达式。 (1) Y1＝AB＋(2) Y2＝AB＋

＋＋

； 。

解：利用消去法可得 Y1＝AB＋ Y2＝AB＋

＋＋

＝(A＋＝AB＋(

)B＋＋

＝

＋AB＋BC＝

＋A＋C

)C＝AB＋＝AB＋C

4. 配项法

配项法就是为了最终达到化简的目的而有意增加一些多余项(添加项)，以便使用某些公式得以化简。常利用A+

＝1，把一项展开为两项。

＋BC＝AB＋

例1.2.4 利用配项法证明公式AB＋证明：左式＝AB＋ ＝AB＋ ＝AB＋ ＝AB＋

＋BC ＋BC(A＋＋ABC＋＝右式

＋＋＋)＋(

＋

＋＝＋

) (第三项配A＋)

(利用吸收定理)

例1.2.5 化简函数Y＝解： Y＝ ＝ ＝(

＋＋＋

＋＋

＋＋＋)＋

＋(A＋

(B＋

)＝

＋

＋

)

＋

(C＋

)