第一章 逻辑代数基础讲义

第一章 逻辑代数基础讲义

发表时间：2008-6-2

逻辑代数是分析、设计数字电路的基本数学工具。

概述

一、逻辑代数

客观世界中事物的发展变化往往有一定的因果关系――逻辑关系，反映和处理这种逻辑关系的数学工具――逻辑代数。

二、数的表示――计数体制

1. 十进位计数制

十个符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9， 计数规律：“逢十进一”，

2 1 0 -1

例如：222.5＝2×10+2×10+2×10+5×10 （按权展开式）

i

处于不同位置上的数字具有不同的权利。10中的“10”为基数，它表征了该进位计数制所具有的数码个数及进位规则。

任意一个正十进制数D都可表为

n表示整数部分的位数，m表示小数部分的位数，10i为第i位的权；ki∈（0～9）

任意进制(N进制)数的按权展开式

2. 二进制数

两个符号：0，1 。进位规律：“逢二进一”， 以“2”为基数 任何一个二进制数均可展开为

例如(1011.101)2＝1×2+0×2+1×2+1×2+1×2+0×2+1×2

3. 八进制数

八个符号：01234567，进位规律：“逢八进一”，以“8”为基数。 任何一个八进制数均可展开为

3

2

1

0

-1

-2

-3

3

2

1

0

-1

-2

例如 (5342.65)8＝5×8+3×8+4×8+2×8+6×8+5×8

4．十六进制数

十六个符号：0～9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)

进位规律：逢十六进一 以“16”为基数 任何一个十六进制数均可展开为

3

2

1

0

例如(3A5E)16＝3×16+10×16+5×16+14×16

三、各种进制数之间的互相转换

1. 二、八、十六进制数转换为十进制数

只要将该N进制数按权展开相加，即可得到等值十进制数。

2. 十进制数转换为二、八、十六进制数

十进制数转换为任意进制(N进制)数，须对整数和小数部分分别进行转换。 （1）整数部分的转换――除N取余法

假设十进制整数为(D)10，它所对应的任意N进制数为(anan－1?a1a0)N，则有

n n＿1 1 n＿1 n＿2

(D)10＝anN + an－1N + ? + a1N + a0＝N(anN + an－1N + ? + a1) + a0

n＿1 n＿2

两边同除以N，那么两边的商和余数必然对应相等，所得的商为(anN+an－1N+?+ a1)，所得的余数就是a0。

同理这个商又可以写为

＝ N(anN n＿2

+ an－1N n＿3

+ ? + a 2) + a1

两边再除以N，则所得之余数即为a1。

依此类推，反复将每次得到的商再除以N，直至最后商为0，便可以求出对应于任意N进制数的每一位系数。

（2）小数部分的转换――乘N取整法

假设十进制小数为(D)10，对应的任意N进制数为(0.a－1a－2?a－m+1a－m)N，则有

＿1 ＿2 ＿3 ＿m

(D)10＝a－1N+ a－2N+ a－3N+ ? + a－m N 两边同乘以N得

N(D)10＝a－1 +(a－2N＿1 + a－3 N＿2 + ? + a－m N＿m+1) 可以看出用N乘(D)10所得乘积的整数部分就是a－1。乘积的小数部分又可写为

N(D)10－a－1＝a－2N＿1 + a－3 N＿2 + ? + a－m N＿m+1

两边再乘以N得

N［N(D)10－a－1］＝a－2 + a－3N＿1 + a－4N＿2+ ? + a－m N＿m+2

所得的乘积的整数部分就是a－2。

依此类推，将每次乘N后所得乘积的小数部分再乘以N，直至最后乘积的小数部分为0或达到一定的精度为止，便可求得任意N进制小数的每一位系数。

在实现小数转换时，不一定能正好转换为有限位小数，因而必须考虑转换精度问题，即根据需要来确定转换位数。

3. 二进制与八进制的相互转换 3位一组

4. 二进制与十六进制之间的转换 4位一组

四、二进制码

编码：用二进制数表示数字、文字、符号等信息的过程。用来进行编码的二进制数码称为二进制代码。

如果需要编码的信息数为N，则用以编码的二进制代码所需位数n应满足2≥

n。例如：若信息

量为N＝8，则编码所需的二进制代码位数n＝3。

1. 二–十进制码

用二进制数表示1位十进制数码的方法称为二–十进制编码，即BCD(Binary-Coded Decimal)码。

4

1位十进制数有0～9十个不同数码，需要用4位二进制数才能表示。4位二进制数码有2＝16种不同的组合。因而，从16种组合状态中选用其中十种组合状态来表示1位十进制数0～9的编码方法很多，常用的二–十进制编码有以下几种：

（1）8421BCD码(简称8421码)

它是一种有权码。注意8421码中没有1010～1111这几个组合，和通常的4位二进制数不同。是广泛应用的一种编码。

十进制数和8421码之间可直接按位转换。例如： (94.12)10＝(10010100.00010010)8421

（2）余三码

比8421码多3(即多0011)，故称为余三码。是一种无权码。

2. 格雷码(Gray码)

格雷码的基本特点是：任何两个代码之间仅有一位不同，因而又叫单位距离码。 格雷码属于无权码，它有多种编码形式，其中最常用的一种是循环码，

格雷码从一个代码变为相邻的另一个代码时，其中只有一位二进制数码变化，且低位优先。格雷码广泛用于输入、输出设备和模拟–数字转换器等。 1.1 逻辑代数--布尔代数

在客观世界中，许多事物之间的关系具有因果性。这种因果关系称为逻辑关系。用以分析、研究这种逻辑关系的数学工具就是逻辑代数，也称为布尔代数。

在日常生活中，许多事物都只有相互对立的两种不同状态。如果用符号“0”“1”来代表这两种对立的状态。注意，这里0和1表示两种对立状态，称为逻辑0状态和逻辑1状态。在逻辑电路中，代表“因”的自变量是输入信号，代表“果”的因变量是输出信号。

·逻辑函数

如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间是—种函数关系。

逻辑函数 Y= F(A，B，C，?) 二值函数 一、逻辑代数中的三种基本运算

在逻辑代数中，最基本的运算是与、或、非三种运算。 1. 与运算

当决定一事件发生的各条件都具备时，此事才发生――与逻辑。表示与逻辑的逻辑表达式为

Y＝A·B

·与运算符号的省略、读法

·举例电路说明

·与运算、与门、逻辑符号、真值表 ·推广到多个逻辑变量，即Y＝A·B·C·??

2. 或运算

当决定一事件发生的各条件中只要有一个具备，此事就会发生――或逻辑。表示或逻辑的逻辑表达式为

Y＝A＋B

·或运算符号的读法 ·举例电路说明

·或运算、或门、逻辑符号、真值表

·推广到多个逻辑变量，即Y＝A＋B＋C＋??

3. 非运算 逻辑否定

当决定一事件发生的条件具备时，这件事情不会发生；而条件不具备时，事情发生――非逻辑。表示非逻辑的逻辑表达式为

Y＝

·非运算符号的读法 ·举例电路说明

·非运算、非门、逻辑符号、真值表

二、逻辑代数中几种常用的复合运算

由与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成若干常用的复合逻辑运算。 1. 与非运算

与非逻辑表达式为Y＝·真值表 ·逻辑符号

2. 或非运算

或非逻辑表达式为Y＝·真值表 ·逻辑符号

3. 异或运算

异或逻辑表达式为Y＝·异或运算符，读法、功能 ·真值表 ·逻辑符号

·多输入变量 Y＝A

B

C

D

?? ＋

＝A

B

运算规则为：当输入1的个数为偶数时，Y＝0；当输入1的个数为奇数时，Y＝1。

4. 同或运算