1996年考研数学三真题及全面解析

所以过

?x0,y0?的切线方程为y?y0??2ax0?b??x?x0?,即

?0,0?,把x?y?0代入上式,得

又题设知切线过原点

222?c. ?ax0?bx0?c??2ax0?bx0,即ax0由于系数a?0,所以,系数应满足的关系为(4)【答案】?1,0,0,L【解析】因为

c2?c),b任意. ?0(或ax0a0?

TA是范德蒙行列式,由ai?aj知A???ai?aj??0.根据解与系数矩阵秩

T的关系,所以方程组AX?B有唯一解.

?1??1?1??M?1?a1a2a3Mana122a22a3M2anLLLLa1n?1??x1??1???1?n?1??xa22?????n?1?a3?x3???1?, ?????M??M??M?n?1??an?1??????xn?根据克莱姆法则,对于

易见 D1所以AT?A,D2?D3?L?Dn?0.

TX?B的解为x1?1,x2?x3?L?xn?0,即?1,0,0,L,0?.

【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 或简记为 其系数行列式

?axijj?1nj?bi,i?1,2,L,n

D?a11a21a12La22La1na2nMannMMan1an2L?0,

则方程组有唯一解

其中Dj是用常数项b1,b2,L,bn替换D中第

j列所成的行列式,即

b1a1,j?1La1na2n. Manna11La21LDj?Man1L(5)【答案】(4.412,5.588)

a1,j?1a2,j?1b2a2,j?1LMMMan,j?1bnan,j?1L【解析】可以用两种方法求解： (1)已知方差?2?0.92,对正态总体的数学期望?进行估计,可根据

21n因X:N(?,0.9),设有n个样本,样本均值X??Xi,

ni?10.92X?E(X)),将其标准化,由公式有X:N(?,~N(0,1)得： nD(X)n???X????u???1??可确定临界值u?, 由正态分布分为点的定义P?2??1n2??进而确定相应的置信区间(x?u??2n,x?u??2n).

(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值?的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间?x?u????2n,x?u???2?,

n?其中P?U????u???1??,U:N(0,1),可以直接得出答案.

2?方法1：由题设,1???0.95,可见??0.05.查标准正态分布表知分位点u??1.96.本题

2n?9, X?5, 因此,根据 P{X???1.96}?0.95,有 1nP{5???1.96}?0.95,即 P{4.412???5.588}?0.95, 19故?的置信度为的置信区间是(4.412,5.588) .

方法2：由题设,1??查得u?2?0.95,

?1.96.

??0.92,n?9, X?5代入(x?u??2n,x?u??2n)得置信区间(4.412,5.588).

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)【答案】(D)

【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系x?rcos?,y?rsin?中是

1?1?2即是由?x???y?与x轴在第一象限所围成的

2?4?平面图形,如右图.

由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是y?0,上边界的方程是的直角坐标表示是 故(D)正确.

方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形

1 2y?x?x2,从而D

??x,y?|0?x?1,0?y?1?,

所以,他们都是不正确的.故应选(D). (2)【答案】(A)

【解析】由于级数

?un?1??2n和

?vn?1?2n都收敛,可见级数

??un?1?2n2?vn?收敛.由不等式

及比较判别法知级数

?2uvn?1nn收敛,从而

?2uvn?1?nn收敛.

又因为?un设un?vn??u?v?2unvn,即级数??un?vn?收敛,故应选(A).

2n2nn?12?21,vn?1?n?1,2,L?,可知(B)不正确. n211设un??2?n?1,2,L?,可知(C)不正确.

nn?设un??1??nn?1,vn??1?n?1,2,L?,可知(D)不正确. n注：在本题中命题(D)“若级数

?un?1?n收敛,且un?vn(n?1,2,L),则级数

?vn?1?n也收敛.”不正

确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)

【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA现将A视为关系式中的矩阵

?

??A?A?AE,

A,则有A?(A?)??A?E.

方法一：由

A??An?1及(A)??1?A,可得 A故应选(C). 方法二：由A?(A?)??A?E,左乘A得

(AA?)(A?)??An?1A,即(AE)(A?)??An?1A.

故应选(C). (4)【答案】(D)

【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组?1,?2,L,?s线性无关,即若x1?1?x2?2?L?xs?s?0,必有x1?0,x2?0,L,xs?0.

既然?1,L,?m与k1,L,km不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般情况下,对于

不能保证必有k1?1?k2?2?L?ks?s?0,及l1?1?L?ls?s?0,故(A)不正确.由已知条件,有

?1??1??1??L??m??m??m??k1??1??1??L?km??m??m??0,

又?1,L,?m与k1,L,km不全为零,故?1??1,L,?m??m,?1??1,L,?m??m线性相关. 故选(D). (5)【答案】(B)

【解析】依题意 因P(B)?0,故有P?A1B?A2B??P?A1B)?P(A2B?.因此应选(B).

注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件A1,A2应满足P(A1)?0,P(A2)?0,且A1,A2是对立事件. 【相关知识点】条件概率公式：P(B|A)?三、(本题满分6分)

【解析】(1) 由于g(x)有二阶连续导数,故当x?0时,f(x)也具有二阶连续导数,此时,f?(x)可直接计算,且f?(x)连续；当x?0时,需用导数的定义求f?(0).

P(AB).

P(A)x[g?(x)?e?x]?g(x)?e?xxg?(x)?g(x)?(x?1)e?x?. 当x?0时, f?(x)?22xx当x?0时,由导数定义及洛必达法则,有