高等数学练习答案12-9

方程y???y?1的特解为常数A?

2 方程y???y??1cos2x具有Bcos2x?Csin2x形式的特解?

2故原方程的特解设为

y*?A+Bcos2x?Csin2x? 代入原方程得

?A?5Bcos2x?5Csin2x?1?1cos2x?

22比较系数得A??1?B?1? C?0? 从而y*??1?1cos2x?

210210 因此? 原方程的通解为

1 y?C1e?x?C2ex?1cos2x??

102 2? 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解? (1)y???y?sin x?0? y|x???1? y?|x???1? 解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?

其根为r??i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos x?C2sin x?

因为f(x)??sin2x?e0x(0?cos2x?sin2x)? ??i??i是特征方程的根? 故原方程的特解设为

y*?Acos2x?Bsin2x? 代入原方程得

?3Acos 2x?3Bsin2x??sin2x? 解得A?0? B?1? 从而y*?1sin2x?

33 因此? 原方程的通解为

1 y?C1cosx?C2sinx?sin2x?

3 由y|x???1? y?|x???1得C1??1? C2??1?

3故满足初始条件的特解为

11 y??cosx??sinx?sin2x?

33 (2)y???3y??2y?5? y|x?0?1? y?|x?0?2? 解 微分方程的特征方程为 r2?3r+2=0?

其根为r1?1? r2?2? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1ex?C2e2x?

容易看出y*?5为非齐次方程的一个特解?

2故原方程的通解为 y?C1ex?C2e2x?5?

2 由y|x?0?1? y?|x?0?2得

5??C1?C2??1 ?? 2??C1?2C2?2解之得C1??5? C2?7? 因此满足初始条件的特解为

2 y??51ex?7e2x?5?

22 (3)y???10y??9y?e2x? y|x?0?6? y?|x?0?33?

77 解 微分方程的特征方程为

r2?10r?9?0?

其根为r1?1? r2?9? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1ex?C2e9x?

因为f(x)?e2x? ??2不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Ae2x? 代入原方程得

(4A?20A?9A)e2x?e2x? 解得A??1? 从而y*??1e2x?

77 因此? 原方程的通解为 y?C1ex?C2e9x?1e2x?

733 由y|x?0?6? y?|x?0?得C1?C2?1?

772因此满足初始条件的特解为 y?1ex?1e9x?1e2x?

227

(4)y???y?4xex? y|x?0?0? y?|x?0?1?

解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?

其根为r1??1? r2?1? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2ex?

因为f(x)?4xex? ??1是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?xex(Ax?B)? 代入原方程得

(4Ax?2A?2B)ex?4xex?

比较系数得A?1? B??1? 从而y*?xex(x?1)? 因此? 原方程的通解为 y*?C1e?x?C2ex?xex(x?1)? 由y|x?0?0? y?|x?0?1得

C1?C2?0 ???C1?C2?1?1?

解之得C1?1? C2??1? 因此满足初始条件的特解为 y?e?x?ex?xex(x?1)?

(5)y???4y??5? y|x?0?1? y?|x?0?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?0?

其根为r1?0? r2?4? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1?C2e4x?

因为f(x)?5?5e0?x? ??0是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?Ax? 代入原方程得

?4A?5? A??5?

4从而y*??5x?

4 因此? 原方程的通解为 y?C1?C2e4x?5x?

4 由y|x?0?1? y?|x?0?0得C1?11? C2?5?

1616因此满足初始条件的特解为

y?11?5e4x?5x?

16164 3? 大炮以仰角?、初速度v0发射炮弹? 若不计空气阻力? 求弹道曲线? 解 取炮口为原点? 炮弹前进的水平方向为x轴? 铅直向上为y轴? 弹道运动的微分方程为

?d2y?dt2??g??dx?0?dt?

且满足初始条件

y|t?0?0, y?|t?0?v0sin? ?? ?s?x|t?0?0, x?|t?0?v0co? 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为

x?v0co?s?t?? ?12? y?vsin??t?gt0?2? 4? 在R、L、C含源串联电路中? 电动势为E的电源对电容器C充电? 已知E?20V? C?0?2?F(微法)? L?0?1H(亨)? R?1000?? 试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t)?

解 (1)列方程? 由回路定律可知

???R?C?uc??uc?E? L?C?ucR1E???uc??即 uc? uc?LLCLC且当t?0时? u c?0? uc??0?

已知R?1000?? L?0.1H? C?0?2?F? 故 R?1000?104?

L0.1 1?LCLC1?5?107? ?60.1?0.2?10

E?5?107E?5?107?20?109?

???104uc??5?107uc?109? 因此微分方程为uc (2)解方程? 微分方程的特征方程为r2?104r?5?107?0?

其根为r 1? 2??5?103?5?103i? 因此对应的齐次方程的通解为