高等数学练习答案12-9

习题12?9

1? 求下列各微分方程的通解? (1)2y???y??y?2ex?

解 微分方程的特征方程为 2r2?r?1?0?

其根为r1?1? r2??1? 故对应的齐次方程的通解为

2 Y?1xC1e2?C2e?x?

因为f(x)?2ex ? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得

2Aex?Aex?Aex?2ex? 解得A?1? 从而y*?ex? 因此? 原方程的通解为 y1x?C1e2?C2e?x?ex?

(2)y???a2y?ex?

解 微分方程的特征方程为 r2?a2?0?

其根为r??ai? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos ax?C2sin ax?

因为f(x)?ex? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得

Aex?a2Aex?ex? 解得

1A?1?a2? 从而

exy*?1?a2?

因此? 原方程的通解为

exy?C1cosax?C2sinax?1?a2?

(3)2y???5y??5x2?2x?1?

解 微分方程的特征方程为 2r2?5r?0?

其根为r1?0? r2??5? 故对应的齐次方程的通解为

2 Y?C1?C2e?5x2?

因为f(x)?5x2?2x?1? ??0是特征方程的单根? 故原方程的特解设为

y*?x(Ax2?Bx?C)? 代入原方程并整理得

15Ax2?(12A?10B)x?(4B?5C)?5x2?2x?1?

比较系数得A?1? B??3? C?7? 从而y*?1x3?3x2?7x?

35253525 因此? 原方程的通解为 y?C1?C25?xe2?13327x?x?x? 3525 (4)y???3y??2y?3xe?x?

解 微分方程的特征方程为 r2?3r?2?0?

其根为r1??1? r2??2? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?2x?

因为f(x)?3xe?x? ???1是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?x(Ax?B)e?x? 代入原方程并整理得 2Ax?(2A?B)?3x?

比较系数得A?3? B??3? 从而y*?e?x(3x2?3x)?

22 因此? 原方程的通解为

y?C1e?x?C2e?2x?e?x(3x2?3x)?

2 (5)y???2y??5y?exsin2x?

解 微分方程的特征方程为 r2?2r?5?0?

其根为r1? 2?1?2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

因为f(x)?exsin2x? ??i??1?2i是特征方程的根? 故原方程的特解设为

y*?xex(Acos2x?Bsin2x)?

代入原方程得

ex[4Bcos2x?4Asin2x]?exsin2x?

比较系数得A??1? B?0? 从而y*??1xexcos2x?

44 因此? 原方程的通解为

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?1xexcos2x?

4 (6)y???6y??9y?(x?1)e3x? 解 微分方程的特征方程为 r2?6r?9?0?

其根为r1?r2?3? 故对应的齐次方程的通解为 Y?e3x(C1?C2x)?

因为f(x)?(x?1)e3x? ??3是特征方程的重根? 故原方程的特解设为 y*?x2e3x(Ax?B)? 代入原方程得

e3x(6Ax?2B)?e3x(x?1)?

比较系数得A?1? B?1? 从而y*?e3x(1x3?1x2)?

6262 因此? 原方程的通解为

y?e3x(C1?C2x)?e3x(1x3?1x2)?

62 (7)y???5y??4y?3?2x?

解 微分方程的特征方程为 r2?5r?4?0?

其根为r1??1? r2??4? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?4x?

因为f(x)?3?2x?(3?2x)e0x? ??0不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Ax?B? 代入原方程得

4Ax?(5A?4B)??2x?3?

比较系数得A??1? B?11? 从而y*??1x?11?

2828 因此? 原方程的通解为 y?C1e?x?C2e?4x?1x?11?

28 (8)y???4y?xcos x?

解 微分方程的特征方程为 r2?4?0?

其根为r??2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos2x?C2sin2x?

因为f(x)? xcos x?e0x(x?cos x?0?sin x)? ??i??i不是特征方程的根? 故原方程的特解设为

y*?(Ax?B)cos x?(Cx?D)sin x? 代入原方程得

(3Ax?3B?2C)cos x?(3Cx?2A?3D)sin x?xcos x? 比较系数得A?1? B?0? C?0?D?2? 从而y*?1xcosx?2sinx?

3939 因此? 原方程的通解为

12 y?C1cos2x?C2sinx?xcosx?sinx?

39 (9)y???y?ex?cos x?

解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?

其根为r??i ? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos x?C2sin x?

因为f(x)?f1(x)?f2(x)? 其中f1(x)?ex? f2(x)?cos x? 而 方程y???y?ex具有Aex形式的特解?

方程y???y?cos x具有x(Bcos x?Csin x)形式的特解? 故原方程的特解设为

y*?Aex?x(Bcos x?Csin x)? 代入原方程得

2Aex?2Ccos x?2Bsin x?ex?cos x?

比较系数得A?1? B?0?C?1? 从而y*?1ex?xsinx?

2222 因此? 原方程的通解为

1x y?C1cosx?C2sinx?ex?sinx?

22 (10)y???y?sin2x ?

解 微分方程的特征方程为 r2?1?0?

其根为r1??1? r2?1? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2ex?

因为f(x)?sin2x?1?1cos2x? 而

22