课时跟踪检测32 等比数列及其前n项和

课时跟踪检测(三十二) 等比数列及其前n项和

第Ⅰ组：全员必做题

1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

1

A.

31 C.

9

1 B．－ 31

D．－

9

*

2

2．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N)成等比数列”是“an＋1＝anan＋2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

n

3．(2013·郑州质量预测)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3＋k，则实数k为( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

4．(2013·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝( )

A．150 C．150或－200

B．－200 D．400或－50

5．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，?)，则{An}为等比数列的充要条件是( )

A．{an}是等比数列

B．a1，a3，?，a2n－1，?或a2，a4，?，a2n，?是等比数列 C．a1，a3，?，a2n－1，?和a2，a4，?，a2n，?均是等比数列

D．a1，a3，?，a2n－1，?和a2，a4，?，a2n，?均是等比数列，且公比相同

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N都有an＋2＋an

＋1

*

－2an＝0，则S5＝________.

21

7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an

33

＝________.

an＋m*

8．数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n

am

项和Sn＝________.

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N)． (1)证明：数列{an}是等比数列；

*

(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．

10．(2013·东北三校联考)已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2－1(n∈N)，求实数λ的值．

第Ⅱ组：重点选做题

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )

A．12 C．15

B．14 D．16

n

*

*

2．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，1*

若a1＝，an＝f(n)(n∈N)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．

2

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

a1

1．选C 由题知q≠1，则S3＝1

＝，故选C. 9

2．选A 显然，n∈N，an，an＋1，an＋2成等比数列，则an＋1＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，?

3．选A 依题意得，数列{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18， 则6＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.

4．选A 依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)＝

2

2

*

2

－q1－q

3

＝a1q＋10a1，得q＝9，又a5＝a1q＝9，则a1

24

S10(S30－S20)，即(S20－10)＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，

因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80.S40＝150.选A.

An＋1an＋1an＋2an＋2A2a3A3

5．选D ∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝Ananan＋1anA1a1A2

a4

，?.∴a1，a3，a5，?，a2n－1，?和a2，a4，?，a2n，?成等比数列．且公比相等．反之，a2

An＋1an＋2

若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比

Anan数列．

6．解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq＋anq－2an＝0，显然an≠0，所以q＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，

1×[1－－

所以S5＝

1－－答案：11

2121

7．解析：当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知

33331??21?2212?2

得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝?an＋?－?an－1＋?＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，

3??33?3333?3所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，

所以an＝(－2)答案：(－2)

n－1

5

2

2

2

]

＝11.

.

n－1

an＋m

8．解析：∵＝an，∴an＋m＝an·am，

am∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝2＝8； 令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，

∴数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列， ∴Sn＝

－21－2

n＋1

n

3

＝2

n＋1

－2.

答案：8 2－2

*

9．解：(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N)， n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.

因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4

整理得an＝an－1.

3

又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，

4

公比为的等比数列．

3

?4?n－1

(2)因为an＝??，

?3?

由bn＋1＝an＋bn(n∈N)，

*

?4?n－1

得bn＋1－bn＝??.

?3?

4?n－1?1－???3?

可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋?＋(bn－bn－1)＝2＋

?4?n－1

＝3·??－1(n≥2)，当4?3?1－3

?4?n－1

n＝1时也满足，所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·??－1.

?3?

10．解：(1)设数列{an}的公比为q， 由条件可知q3q，q成等差数列， ∴6q＝q＋q，解得q＝－3或q＝2， ∵q>0，∴q＝2.

∴数列{an}的通项公式为an＝2(2)记bn＝an＋1－λan， 则bn＝2－λ·2

n

n－1

n－1

2

3

43,

2

4

(n∈N)．

*

＝(2－λ)2

n－1

，

若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；

bn＋1

若λ≠2，则＝2，数列{bn}为首项为2－λ，公比为2的等比数列，

bn此时Sn＝

n

－λ1－2

*

(1－2)＝(2－λ)(2－1)，

nn

∵Sn＝2－1(n∈N)，∴λ＝1. 第Ⅱ组：重点选做题 1．选D

a5＋a6＋a7＋a84

＝q＝2，

a1＋a2＋a3＋a4

由a1＋a2＋a3＋a4＝1， 1－q

得a1·＝1，∴a1＝q－1，

1－qa1

又Sn＝15，即n

4

－q1－q

4

n

＝15，

∴q＝16，又∵q＝2，∴n＝16.故选D.

1

2．解析：由条件得：f(n)·f(1)＝f(n＋1)，即an＋1＝an·，所以数列{an}是首项与公比

2

11?1?n

均为的等比数列，求和得Sn＝1－??，所以≤Sn<1.

22?2?

?1?答案：?，1?

?2?