全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷理含解析

（2）（i）根据分层抽样方法得，男生?12?9人，女生?12?3人， 所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．

（ii）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3．

021C3C9C841089C3，P?X?1??33?， P?X?0??3?220220C12C12203C1C9C2719C3，P?X?3??33?， P?X?2??3?220220C12C123414∴X的分布列是： X P 0 1 2 3 1 22084108 220220841082713∴E?X??0??1??2??3??．

220220220220419．（本小题满分12分）

27 220【答案】（1）见解析；（2）??3?6．

【解析】（1）证明∵AD?平面PDC，PD?平面PDC，DC?平面PDC， ∴AD?PD，AD?DC，

在梯形ABCD中，过点作B作BH?CD于H，

在△BCH中，BH?CH?1??BCH?45?， 又在△DAB中，AD?AB?1??ADB?45?， ∴?BDC?45???DBC?90??BC?BD，①

∵PD?AD，PD?DC，ADIDC?D，AD?平面ABCD，DC?平面ABCD， ∴PD?平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD?BC，

由①②，∵BDIPD?D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，∴BC?平面PBD， ∵BC?平面PBC，∴平面PBC?平面PBD；

（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)

则P?0,0,1?，C?0,2,0?，A?1,0,0?，B?1,1,0?， uuuruuur令Q?x0,y0,z0?，PQ??x0,y0,z0?1?，PC??0,2,?1?，

uuuruuur∵PQ??PC，∴?x0,y0,z0?1????0,2,?1?，∴Q??0,2?,1???，

∵BC?平面PBD，∴n???1,1,0?是平面PBD的一个法向量， 设平面QBD的法向量为m??x,y,z?，

uuur?x??y?x?y?0?m?DB?0???则?uuur，即?，即?z?2?y，

??2?y??1???z?0???m?DQ?0???1??2???不妨令y?1，得m???1,1,，

??1???∵二面角Q?BD?P为60?，

∴

cosm,n?m?nm?n?2?2??2?2??????1?2?12，解得??3?6，

∵Q在棱PC上，∴0???1，故??3?6为所求．

20.（本小题满分12分）

【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB能为平行四边形，当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．

【解析】（1）设直线y?kx?b?k?0,b?0?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，M?xM,yM?，

2222将y?kx?b代入9x2?y2?m2，得k?9x?2kbx?b?m?0，

??故xM?yM9x1?x2kb9b??， ??2，yM?kxM?b?2，于是直线OM的斜率kOM?xMk2k?9k?9即kOM?k??9，所是命题得证．

（2）四边形OAPB能为平行四边形．

?m?∵直线l过点?,m?，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k?0且k?3．

?3?9由（1）得OM的方程为y??x．设点P的横坐标为xP．

k9??km?y??xk2m22x?k由?，得xP?2，即P． 23k?99k?81222?9x?y?m?m?3?k??m?将点?,m?的坐标代入直线l的方程得b?，

?3?3因此xM?mk?k?3?3?k2?9?，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，

即xP?2xM．于是?km3k2?9?2?mk?k?3?3?k2?9?．解得k1?4?7，k2?4?7．

∵ki?0，ki?3，i?1，2，

∴当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．

21．（本小题满分12分）

【答案】（1）当a?0时，f?x?的增区间为?0,???；当a?0时，f?x?的减区间为

?0,?1?1??1?2a，增区间为?1?1?2a,??；（2）???,?．

2?????1a1x2?2x?2a【解析】（1）f?x?的定义域为?0,???，f??x???2??，

xx22x2令f??x??0，则x2?2x?2a?0，??4?8a?0时， 即a??1?2?4?8a，方程两根为x1???1?1?2a，x2??1+1?2a，x1?x2??2，22x1x2??2a，

1①当a??时，??0，f??x??0恒成立，f?x?的增区间为?0,???；

21②当??a?0时，x1x2??2a?0，x1?0，x2?0，

2x??0,???时，f??x??0，f?x?的增区间为?0,???；

③当a?0时，x1?0，x2?0，当x??0,x2?时，f??x??0，f?x?单调递减， +??时，f??x??0，单调递增； 当x??x2,综上，当a?0时，f?x?的增区间为?0,???；

当a?0时，f?x?的减区间为0,?1?1?2a，增区间为?1?1?2a,??．

ax?1?（2）x??,???时，g?x??0恒成立，即xlnx?lnx???1?0，∴

x2?2?????x2a?xlnx?xlnx??x，

22令

x21??h?x??xlnx?xlnx??x?x??22??2，

h??x??2xlnx?x?lnx?1?x?1，

h??x???2x?1?lnx，

?1?+??时，h??x??0，h?x?单调递减； 当x??,1?时，h??x??0，h?x?单调递减；当x??1,?2?

∴h?x?min?h?1??1?11?，∴a?，则实数a的取值范围时???,?．

2?22?请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分） 【答案】（1）y?3?x?1??1，y2?2x；（2）

16． 3【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为y?3?x?1??1． 由??2cos?22，可得?1?cos??2?cos?， 21?cos???∴曲线C的直角坐标方程为y2?2x． （2）直线l的倾斜角为

??，∴直线l?的倾斜角也为， 330?， 又直线l?过点M?2,1?x?2?t??2?∴直线l?的参数方程为?(t?为参数)，

?y?3t???2将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t?2?4t??16?0， ?． 设点A，B对应的参数分别为t1?，t2???由一元二次方程的根与系数的关系知t1?t2164??． ，t1??t233∴MA?MB?16． 323．（本小题满分10分）

2?（2）m??3或m?5． ?；3??【答案】（1）?x?4?x??1??x?2,x???2?1???x?1， 【解析】（1）f?x??2x?1?x?1=?3x,2?x?1?x?2,??1??1112?x?????x?1?x?12或?2∴?或?，解得?4?x??或??x?或无解，

223?x?2?2???x?2?2??3x?2?2?综上，不等式f?x??2的解集是?x?4?x??．

3??（2）f?x??x?1?2x?3?2x?1?x?1?x?1?2x?3?2x?1?2x?3