上海市虹口区2016届高三数学三模试卷 理(含解析)

2016年上海市虹口区高考数学三模试卷（理科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合M={x|

≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N= ．

2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ． 3．已知复数z=

（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z?= ．

（a1+a2+…+an）4．若等比数列{an}的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则

= ．

﹣1﹣1

5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f（x），则f（1）+f（﹣4）= ． 6．在数学解题中，常会碰到形如“

”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则= ．

7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于 ．

8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为 （结果用最简分数表示）． 9．若双曲线x2﹣

=1的一个焦点到其渐近线的距离为2

，则该双曲线的焦距等

于 ． 10．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为 ． 11．在极坐标系中，圆ρ=2sinθ被直线ρsin（θ+

）=截得的弦长为 ．

12．过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB的面积为 ． 13．若关于x的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为 ． 14．在平面直角坐标系中，定义

为点P（yn）到点Pn+1（xn+1，nxn，

yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…是经过点变换得到的一组无穷点列，设an=2016的最小正整数n的值为 ．

，则满足不等式a1+a2+…+an＞

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.

15．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（ ） A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β

B．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ D．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β

16．若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣1）+f（﹣3）=3，则实数a等于（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D．4

17．在锐角△ABC中，B=60°，|﹣|=2，则?的取值范围为（ ） A．（0，12） B．[

，12） C．（0，4] D．（0，2]

18．在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现给出下列4个命题： ①已知P（1，2），Q（cos2θ，sin2θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值； ②已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）； ③用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|≥

d（P，Q）； ④若P，Q是椭圆=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为6．

则下列判断正确的为（ ）

A．命题①，②均为真命题 B．命题②，③均为假命题 C．命题②，④均为假命题 D．命题①，③，④均为真命题

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.

19．已知函数f（x）=的图象过点

和点

．

（1）求函数f（x）的最大值与最小值；

（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心．

20．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[﹣1，3]上的最大值为5，最小值为1． （1）求a，b的值及f（x）的解析式； （2）设g（x）=

，若不等式g（3x）﹣t?3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值

范围．

21．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3．其中O1为A1C1与B1D1的交点．

（1）求点B1到平面D1AC的距离；

（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．

2

22．设椭圆C：

2

+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x2+y2=．若

抛物线y=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等．

（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；

（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：∠AOB为定值（O为坐标原点）；

（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的取值范围．

*

23．若数列An：a1，a2，…，an（n∈N，n≥2）满足a1=0，|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，…，n﹣1），则称An为L数列．记S（An）=a1+a2+…+an．

（1）若A5为L数列，且a5=0，试写出S（A5）的所有可能值； （2）若An为L数列，且an=0，求S（An）的最大值； （3）对任意给定的正整数n（n≥2），是否存在L数列An，使得S（An）=0？若存在，写出满足条件的一个L数列An；若不存在，请说明理由．

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2016年上海市虹口区高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合M={x|

≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N= [0，3） ．

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，且3﹣x≠0， 解得：﹣1≤x＜3，即M=[﹣1，3），

x0

由N中不等式变形得：2≥1=2，即x≥0， ∴N=[0，+∞）， 则M∩N=[0，3）， 故答案为：[0，3）．

2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由题意得A为钝角，且sinA=，cosA=﹣，由此由二倍角公式得sin2A． 【解答】解：△ABC中，tanA=﹣， ∴sinA=，cosA=﹣， ∴sin2A=2sinAcosA=﹣

3．已知复数z=

（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z?= 1 ． ． ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由

求得z?．

【解答】解：∵z==，

∴z?=故答案为：1．

．

4．若等比数列{an}的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则【考点】等比数列的通项公式．

（a1+a2+…+an）= 16 ．

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