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?SBGX概率统计(理工类)? 习题1解答 事件的概率 第 21 页 共 69
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a?108??X?108a?108???a?108?0.90?P{X?a}?P????P?U??????；3?3??3??3?
a?108?a?108?0.10?1????1??(u)， ?u0.20?0.2816，a?111.84．0.20?33??其中u?是标准正态分布水平?双侧分位数(附表3)．
(3) 注意到?(?36)?0，由条件知
0.025?P{|X?b|?b}?P{?b?X?b?b}?1?P{0?X?2b}??108X?1082b?108??1?P????333???2b?108??2b?108??1?????(?36)?1?????．33????由标准正态分布水平?双侧分位数(附表3)，可见
?2b?108?1?????1??(u0.05)?0.025，3??
2b?1083?1.96?108?u0.05?1.96，b=?56.94．322.17 设随机变量X~N(3,4)，分别求常数C1和C2使之满足： (1) P{X?C1}?P{X?C1}； (2) P{X?C2}?2P{X?C2}． 解 (1) 由X~N(3,4)，可见
?X?3C1?3??X?3C1?3?P?????P{X?C1}?P??，2?2??2?2
C?3C?3C?3C?3???1??1?11??1?0，C1?3．??1????，????， 22222??????于是C1?3．
(2) 同理
P{X?C2}?2P{X?C2}，2P{X?C2}?2P{X?C2}?2?2P{X?C2}，P{X?C2}?，3C2?3?3?C2?3? 33?X?3C2?3?3?1?P{X?C2}?P???PU????????，22?22?2?2?2?2?3?C2?3??C2?3?2????1，??????0.6；2?2??2?3由此及标准正态分布函数值表(附表1)，可见
???C2?3?2?????0.6666；?(0.43)?0.6664?0.6666；?2?3
C2?3?0.43，C2?2?0.43?3?3.86．2
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于是C2?3.86．
2.18 假设某年级学生“概率论与数理统计”考试的成绩（百分制）服从正态分布N(?,?2)；考试成绩75分以下者占34%，而90分以上的考生占14%，试求分布参数?,?2．
解 以X表示该年级随意一个学生“概率论与数理统计”的考试成绩，由条件知X~N(?,?2)，而且
?X??75????75???0.34?P{X?75}?P???=???，???????
X??90??90??????0.14?P{X?90}?P???=1-???；???????由此及标准正态分布函数值表(附表1)，得关于?和?的方程组:
?75????75???0.34???=1-?，??????????
?90????90???0.14?1????，????0.86；???????75????0.41，????0.41??75，?? ??90????1.08??90；???1.08；???解方程组，得??79.13?79，?2?10.072．
2.19 假设收音机的有效使用时间(单位：年)服从参数为0.125的指数分布．现在某人买了一台旧收音机，试求收音机还能使用8年以上的概率?．
解 以X表示使用的年限，由条件知X服从参数为??0.125的指数分布．不妨假设收音机至少已经使用了t0年．熟知参数为??0.125的指数分布函数为
?1?e??x，若x?0，F(x)??
0 ，若x?0．?由于指数分布的无后效性，知
??P{X?t0?8|X?t0}?P{X?8}于是，还能使用8年以上的概率??0.37．
?1?F(x)?e?0.125?8?e?1?0.3679?0.37．2.20 某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为?=1/600的指数分布．已知这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率?．
解 以Xk(k?1,2,3)表示第k只元件的寿命，Xk都服从同一指数分布，参数为??1600；从而Xk的分布函数为
x???1?e600，若x?0， F(x)???? 0 ，若x?0．以Ak(k?1,2,3)表示事件“第k只元件在仪器工作的前200个小时里损坏”，则
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P(Ak)?P{Xk?200}?e? 200600?e；
? 13??P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3) ?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?e? 1?0.63 ．
四、随机变量的函数
2.21 设随机变量X服从二项分布B(3,0.4), 求随机变量Y?X(X?2)的概率分布. 解 由于随机变量X有0,1,2,3等4个可能值，可见Y有?1,0,3等3个可能值．易见
12?0X~?322?0.63?0.6?0.43?0.6?0.4123??0???；0.2160.4320.2880.064??由Y?X(X?2)可见
3??0.43?
X?0,X?2?Y?X(X?2)?0，X?1?Y?X(X?2)??1，X?3?Y?X(X?2)?3；
P{Y??1}?P{X?1}?0.432，P{Y?3}?P{X?3}?0.064，P{Y?0}?P{X?0}?P{X?2}?0.504；于是，Y?X(X?2)的概率分布为
03???1 Y~??．0.4320.5040.064??2.22 设随机变量X服从[?1,2]上的均匀分布，求随机变量Y的分布律，其中
?1，若X?0，?? Y?? 0，若X?0，?? 1，若X?0．解 由于X服从[?1,2]上的均匀分布，知随机变量Y的概率分布为
1P{Y??1}?P{X?0}?P{?1?X?0}?，P{Y?0}?P{X?0}?0，32P{Y?1}?P{X?0}?P{0?X?2}?；
3?-11?Y~?12?．?????33?2.23 求随机变量Y?lnX的概率密度g(y)，其中随机变量X的概率密度为
?2，若x?0，?f(x)??π(1?x2)
?? 0 ，若x?0．
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解 设G(y)为随机变量Y?lnX的分布函数，则对于任意y(???y???)，有
ey2dxyG(y)?P{Y?y}?P{lnX?y}?P{X?e}??0π(1?x2)
d2eyg(y)?G(y)?(???y???)．dyπ(1?e2y)2.24 对圆片的直径进行测量，测量值R在[5,6]上均匀分布，求圆面积S的密度函数g(s)．
解 圆面积S是直径测量值R的话是的函数：由于R在[5,6]上取值，而在[5,6]之外R=0，因此直径为R圆面积表示为
?12?πR，若R?[5,6]，S??4
??0 ，若R?[5,6]．易见圆面积S的值属于区间[6.25π,9π]，其分布函数为
???1?G(s)?P{S?s}?P?πR2?s??P?R??4????4sπ4s??dr， ??5π??由于圆面积S的值属于区间[6.25π,9π]，可见对于s?[6.25π,9π]，有
g(s)?于是，圆面积S的密度函数为
dd?4s?1π41G(s)????， ???24sπdsds?ππs???1，若6.25π?s?9π，?g(s)??πs
? 0 ，若不然．?2.25由统计物理学知，气体分子运动的绝对速度X服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其密度为
?2x2?x22?e2?，若x?0，f(x)??π?3
? 0 ，若x?0．? 求分子动能Y?mX22的概率密度g(y)，其中m是分子的质量．
解 G(y)为Y?mX22的分布函数，则当y?0时，G(y)=0．当y?0时，有
?2ym2y????1?G(y)?P{Y?y}?P?mX2?y??P?X??f(x)dx，??0m??2???? y?2y2g(y)?G?(y)?em?(???y???)．m3π?3于是
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