2011.全国高考各省数学导数-试题-答案

从而

ln3?ln2ln2?a?. 5321．（全国统一考试）（本小题满分12分） 解：

?(

（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx?

(x?1)2x2

?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即

2f'(1)??,??2?b?1,??a1

?b??,??22

解得a?1，b?1。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x

lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。

x?1x1?x2x(k?1)(x2?1)考虑函数h(x)?2lnx?(x?0)，则

x

(k?1)(x2?1)?2xh'(x)?。 2xk(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，

x2 故

1h(x)?0； 1?x21当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0

1?x2lnxklnxk从而当x>0，且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x?1xx?1x1'（ii）设00，故h (x）>0，而

1?k11h（1）=0，故当x?（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。

1?k1?x2当x?(0,1)时，h(x)?0，可得

（iii）设k?1.此时h（x）>0，而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得

' 13

1 h（x）<0，与题设矛盾。 1?x2

综合得，k的取值范围为（-?，0]

lnx1?． x?1xlnxlnx1lnx??故要证：f(x)? 只需证

x?1x?1xx?1解：（2）由（1）知f(x)?为去分母，故分x>1与01时，需证x(x?1)lnx?x2?1?x(x?1)lnx

x2?11即lnx? 即需证lnx?x?． （1）

xx设g(x)?lnx?x?11，则g'(x)??1 xx1在（1，+?）上为减函数．又因g（1）x由x>1得g'(x)?0，所以g(x)?lnx?x?=0

所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立． 同理0

所以 当0

点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算． 22．（浙江卷）（本题满分14分） 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考

查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

(x?a)2a （I）解：求导得f'(x)?2(x?a)lnx??(x?a)(2lnx?1?).

xx因为x?e是f(x)的极值点， 所以f'(e)?(e?a)(3?)?0, 解得a?e或a?3e经检验，符合题意，

所以a?e或a?3e.

2（II）解：①当0?x?1时，对于任意的实数a，恒有f(x)?0?4e成立； 22②当1?x?3e时，由题意，首先有f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e，

ae 14

解得3e?2e2e?a?3e?，

ln(3e)ln(3e)ax由（I）知f'(x)?(x?a)(2lnx?1?), 令h(x)?2lnx?1?a,则h(1)?1?a?0,h(a)?2lna?0, x且h(3e)?2ln(3e)?1?a?2ln(3e)?1?3e3e?2eln(3e)

3e?2(ln3e?1)?0. ln3e又h(x)在(0,??)内单调递增

所以函数h(x)在(0,??)内有唯一零点， 记此零点为x0,则1?x0?3e,1?x0?a. 从而，当x?(0,x0)时，f'(x)?0; 当x?(x0,a)时,f'(x)?0; 当x?(a,??)时，f'(x)?0.

即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减， 在(a,??)内单调递增。

所以要使f(x)?4e对x??1,3e?恒成立，只要

222??f(x0)?(x0?a)lnx0?4e,(1) ?22??f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)成立。

由h(x0)?2lnx0?1?a?0，知 x0（3）

a?2x0lnx0?x0,

2将（3）代入（1）得4x0ln3x0?4e2.

又x0?1，注意到函数xlnx在?1,???内单调递增，

33 15

故1?x0?e。

再由（3）以及函数2xlnx?x在(1,??)内单调递增，可得1?a?3e. 由（2）解得，3e?2e2e?a?3e?.

ln(3e)ln(3e)所以3e?2e?a?3e.

ln(3e)2e?a?3e.

ln(3e)综上，a的取值范围是3e?18．（重庆卷）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．） （本题13分）

解：（I）因f(x)?x3?ax2?bx?1,故f?(x)?3x2?2ax?b. 令x?1,得f?(1)?3?2a?b,

由已知f?(1)?2a,因此3?2a?b?2a,解得b??3. 又令x?2,得f?(2)?12?4a?b,由已知f?(2)??b, 因此12?4a?b??b,解得a??.

32325x?3x?1,从而f(1)?? 223又因为f?(1)?2?(?)??3,故曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

25y?(?)??3(x?1),即6x?2y?1?0.

23因此f(x)?x? （II）由（I）知g(x)?(3x?3x?3)e，

从而有g?(x)?(?3x?9x)e.

令g?(x)?0,得?3x2?9x?0,解得x1?0,x2?3. 当x?(??,0)时,g?(x)?0,故g(x)在(??,0)上为减函数； 当x?(0,3)时,g?(x)?0,故g(x)在（0，3）上为增函数； 当x?(3,??)时，g?(x)?0,故g(x)在(3,??)上为减函数；

从而函数g(x)在x1?0处取得极小值g(0)??3,在x2?3处取得极大值g(3)?15e.

16

?32?x2?x