电路分析1-7章

《复变函数与积分变换》讲稿

华中科技大学数学系(第二版)

任课教师：黄志祥

参考教材：

1. 数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月.

2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月. 3. 复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林 编，西北工业大学出版社,2001年1月.

第一章 复数与复变函数

§1.1复数

1.1.1复数的概念 1. 数域的拓展－复数域

Cardano<1501-1576>于1545年提出一元三次方程的求根公式，即

qqpqqp3以证x3?px?q?0(p,q?R)?x?3??()2?()3?3??()?2().可

223223明方程有三个不同实根时，若用公式求解则不可能不涉及到负数开方的运算.1777年瑞士著名数学家及物理学家欧拉引入符号I为虚数单位，并规定

i??1. 2. 复数的概念

定义：形如x?iy的数称为复数（complex number），记为z?x?iy，其中实数x和

y分别称为复数z的实部(real part)及虚部(imaginary part)，记为

x?Re(z)y?,x?0时，z?iy称为纯虚数；当y?0时，z?xImz，特别地，当

为实数；x?y?0时，z?0称为复数0，它既是实数又是纯虚数. 3. 复数的集合表示

R} 定义：复数集 全体复数构成的集合称为复数集，记为C，即C?{x?iy|x,y?4. 复数相等 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2?x1?x2,y1?y2.

第1页, 共78页

5. 复数共轭 z?x?iy的共轭复数为z?x?iy. 6. 复数的无序性 1.1.2复数的四则运算

1. 四则运算 设z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则定义它们的四则运算如下. 加(减)法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2)，可以验证z1?z2?z1?z2. 乘法：z1z2?z1?z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1)，可以验证z1?z2?z1?z2. 除法：

z1z1z1x1?iy1x1x2?y1y2y1x2?x1y2()?. ，可以验证???i2222z2z2x2?iy2x2?y2x2?y2z22. 复数运算的性质 不难证明，复数的运算也满足交换律，结合律和分配律.

k3. 复数的二项式定理 (z1?z2)??Cn(z1)n?k(z2)k,nk?0nn?1,2,?

4. 共轭复数的几个命题

zz?x2?y2?[Re(z)]2?[Im(z)]2.

Re(z)?11(z?z),Im(z)?(z?z). 22i

§1.2复数的表示

1.2.1复数的几何表示 1. 复平面的定义

任何一个复数与直角坐标平面上的点一一对应，x,y轴分别称为实轴与虚轴. 2. 复数的几何表示――直角坐标表示

在复平面内，复数z除了用点(x,y)表示外，还可以用从原点指向点P(x,y)的矢

????????量OP来表示复数，称为复数的几何表示，如图1.2.1所示.矢量OP表示复数

z?x?iy，从这种意义上我们把z?x?iy称为复数的直角坐标表示或复数的代数

表示.复数的加、减法运算与矢量间的加、减法运算是一致的.

第2页, 共78页

图1.2.1

3. 复数的模

????定义：矢量OP的长度r称为复数z的模，记为|z|，即|z|?r?x2?y2. ||z|,y|?|z|(1) 显然有 |x?z|?,|x|?|；y|

(2) 如果z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,，则：

|z1?z2|?(x1?x2)2?(y1?y2)2；

||z1|?|z2||?|z1?z2|?|z1|?|z2|.

(3) |z?z0|?R表示复数z对应的点都在以z0为圆心，半径为R的圆上. 1.2.2复数的三角表示方法 1. 复数的辐角

定义：辐角，辐角主值 复数z?x?iy对应的点(x,y)的极坐标为r和?，当z?0时，复数z的矢量与x轴正向的夹角?称为z的辐角，记为Argz??. 显然，x?rcos?,y?rsin?;r?x2?y2.所以tan(Argz)?tan??y.需要指出的是x当z?0时，z有无穷多个辐角.若?0为一个辐角且????0??或0??0?2?，则称之为z的主辐角，记为argz，显然，Argz?argz?2k?(k?Z). 注意：当z=0时，辐角无意义.任何一个非零复数z?x?iy，有

第3页, 共78页

y?arctan,x?0,y?R1?x???,x?0,y?0?2? y?argz??arctan??,x?0,y?0x?y?arctan??,x?0,y?0?x????,x?0,y?0??22. 复数的三角表示

定义：z?r(cos??isin?)?|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]，注意：三角表示不唯一. 1.2.3复数的指数表示

定义：复数的指数表示 利用欧拉公式ei??cos??isin?，我们可以将任何非零复数z?x?iy?r(cos??isin?)表示为z?rei?.

例1. 写出z??4?i3的三角及指数表达式.

3解：|z|?(?4)2?(3)2?5;argz?arg??.因此三角表达式为

43i(arg??)33z?5[cos(arg??)?sin(arg??)]；指数表达式为：z?5e4.

441.2.4复数的复数球面表示 无穷远点

首先，过复平面的原点O作一个球面与复平面相切，如图1.2.2所示，

图1.2.2

过O作复平面的垂线交球面于N点（北极点），作射线NP交球面于P'点，交复平面于P点，可知P’与P对应，所以以O为圆心的圆L上的点与复球面纬线L'上的点相对应，圆L内部的点与L'下方的点对应.圆L的半径???，L'趋向球顶缩成一点N，这样复平面的无限远点对应于球面上的一点N.球面点与复平面

第4页, 共78页