2020高考冲刺真题汇编-立体几何(解析版)

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）10. 5【解析】（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

由题设知A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则

A(2,0,0)，N(1,0,2)，A1(2，0，4)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，M(1,3,2)，

A1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，

??m?A1A?0所以???x?3y?2z?0，?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．??n?MN?0，设n?(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则?

??n?A1N?0．所以????3q?0，可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为

【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.

12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点

E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 2【解析】（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1， 故B1C1?BE．

又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．

（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，

则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB?(1,0,0)，CE?(1,?1,1)，

CC1?(0,0,2)．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

??CB?n?0,?x?0,即? ?x?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).

设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则

??CC1?m?0,?2z?0,即? ?x?y?z?0.???CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．

|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.

13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平

面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.

【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从