高考数学一轮复习试题选编抛物线苏教版

13．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）过直线y=-1上的动点A(a,-1)作抛物线y=x2的两

切线AP,AQ,P,Q为切点.

(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1?k2为定值; (2)求证:直线PQ过定点.

【答案】(1)设过A作抛物线y?x的切线的斜率为k,则切线的方程为y?1?k(x?a), 与方程y?x联立,消去y,得x2?kx?ak?1?0. 因为直线与抛物线相切,所以??k?4(ak?1)?0, 即k2?4ak?4?0. 由题意知,此方程两根为k1,k2, 所以k1k2??4(定值)

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由y?x,得y?2x.

所以在P点处的切线斜率为:y|x?x1?2x1,因此,切线方程为:y?y1?2x1(x?x1).

2由y1?x1,化简可得,2x1x?y?y1?0.

2222''同理,得在点Q处的切线方程为2x2x?y?y2?0.

因为两切线的交点为A(a,?1),故2x1a?y1?1?0,2x2a?y2?1?0.

所以P,Q两点在直线2ax?y?1?0上,即直线PQ的方程为:2ax?y?1?0. 当x?0时,y?1,所以直线PQ经过定点(0,1)

214．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知抛物线C1:y?x?1和抛

2物线C2:y??x?a在交点处的两条切线互相垂直,求实数a的值.

【答案】

15．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场

地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,x轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;

(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?

(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)

y4ADCBO2Ex

【答案】解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)?a0x2?b0x?c0,

?c0?4,?依题意: ?4a0?2b0?c0?0,

?9a?3b?c?1,00?0解得,a0?1,b0??4,c0?4,

∴助跑道所在的抛物线方程为f(x)?x?4x?4 (Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)?ax?bx?c(a?0), 依题意:?22?f(3)?g(3),?9a?3b?c?1,?b?2?6a,得?解得?

f'(3)?g'(3),6a?b?2,c?9a?5,???3a?121)?1?, aa3a?1213a?112令g(x)?1得,(x?)?2,∵a?0,∴x???3?,

aaaaa3a?11当x?时,g(x)有最大值为1?,

aa22则运动员的飞行距离d?3??3??,

aa11飞行过程中距离平台最大高度h?1??1??,

aa21依题意,4???6,得2???3,

aa∴g(x)?ax2?(2?6a)x?9a?5?a(x?即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间

16．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，过抛物线C:y?4x上一点P（1，-2）作倾

斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)（1）求y1?y2的值；（2）若

2y1?0,y2?0，

求?PAB面积的最大值。

y

B

AOPx【答案】解：．⑴因为A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C:y2?4x上， y?24(y1?2)4y12y22??所以A(,y1),B(， ,y2)， kPA?12y1y12?4y1?244?14同理kPB?444，依题有kPA??kPB，因为，所以y1?y2?4． ??y2?2y1?2y2?2y2?y1y12y12?1，设AB的方程为y?y1?x?⑵由⑴知kAB?2,即x?y?y1??0，

y2y1244?44y123?y1?4y12y22??2y1?y2?222?y1， ，AB?2P到AB的距离为d?442所以S?PAB?1?2?y123?y1?42?222?y1=

12y1?4y1?12y1?2 41(y1?2)2?16y1?2， 413t?16t， 413?t?16t为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)?t3?16t?16t?t3，4令y1?2?t，由y1?y2?4，y1≥0,y2≥0，可知?2≤t≤2．S?PAB?因为S?PAB2?是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)?24，故S?PAB的最大值为f?(t)?16?3t2?0，故f(t)在?0，6．

17．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）斜率为1的直线与抛物线y2?2x交于不同两点A,B,

求线段AB中点M的轨迹方程. .

【答案】解:设直线方程:y?x?m,A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x,y? 将y?x?m代入y2?2x,得x??2m?2?x?m?0,

22????2m?2?2?4m2?0,??所以?x1?x2?2?2m,

?xx?m2,??12?m?x?x211,x?1?1?m?,y?x?m?1, 2221??线段AB中点M的轨迹方程为:y?1?x??

2??18．（2009高考(江苏)）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F

在x轴上。