北师大版八年级下册数学《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识点整理及重点题型梳理

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北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；

4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x?a，x?a等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

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（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2. 不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或

ab?)． ccab?)． cc不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．

要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

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（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 方程（组）、不等式问题 求关于x、y的一元一次方程ax?b＝0（a≠0）的解 求关于x、y的二元一次函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 确定直线y?ax?b与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标. x为何值时，函数y?ax?b的值为0？ x为何值时，函数y?a1x?b1与确定直线y?a1x?b1与直线?y?a1x?b1，方程组?的解． y?ax?b．函数y?a2x?b2的值相等？ 22?求关于x的一元一次不等式ax?b＞0（a≠0）的解集

【典型例题】 类型一、不等式

1.用适当的语言翻译下列小题： （1）x与9的差是正数或0；

（2）b与-5的和既不是正数也不是负数； （3）y的5倍既大于x又小于3x+2； （4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；

y?a2x?b2的交点的坐标. 确定直线y?ax?b在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. x为何值时，函数y?ax?b的值大于0？

1y?x?0； 21（6）?2?x?3?0；

2（5）（7）

（8） 【答案与解析】

解：（1）x -9≥0； （2）b+(-5)=0； （3）x<5y<3x+2；

（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7； （5）y的一半与x的差非负；

（6）x的一半与3的差既大于-2又小于0； （7）x>-3或写作：大于-3的数；

（8）2

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【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．

2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?

【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法． 【答案与解析】

解：可利用作差比较法比较大小．

-(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y．

∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．

按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．

∴x?4． 5 ∴x的最小正整数值是1．

【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：

①a?b?a?b?0； ②a?b?a?b?0； ③a?b?a?b?0． 举一反三：

【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小. 【答案】

解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x

而又∵x<0.5，

∴-22x>-11，即11-22x>0． ∴2-4x>18x-9． 类型二、一元一次不等式

3. 已知关于x的不等式

111的解集是，求a的取值范围. x?5?1?ax?2x?????222【答案与解析】

解：解法一：x?5?2?ax?2，

?(1?a)x?9，

∵它的解集为x?1， 2?1?a?0???91， ?a??17.

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