2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练（二十二） 选修4-4 坐标系与参数方程Word版含解析

π

半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝3.

(1)求曲线C的极坐标方程；

11

(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求|OA|＋|OB|的取值范围．

解：(1)由题意知曲线C的普通方程为 (x－2)2＋y2＝r2， 令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.

π

(2)解法一：把θ＝3代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.

令Δ＝4－4(4－r2)＞0， 结合0

方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0， 1111ρ1＋ρ22∴|OA|＋|OB|＝ρ＋ρ＝ρρ＝2. 4－r1212∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1， 11

∴|OA|＋|OB|∈(2，＋∞)．

?

解法二：射线l的参数方程为?3

y＝?2t令Δ＝4－4(4－r2)>0， 结合0

1x＝2t

(t为参数，t≥0)，将其

代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，

方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－

1111t1＋t22

r，t1>0，t2>0，∴|OA|＋|OB|＝t＋t＝tt＝.

4－r21212

2

∵3

∴|OA|＋|OB|∈(2，＋∞)．

6．[2019·长沙一模]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参

??x＝1＋cosφ，数方程为?(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线

??y＝1＋sinφ

l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求l和M的极坐标方程；

π??

??0，(2)当α∈4?时，求|OA|＋|OB|的取值范围． ?解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)．

曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2， 所以M的极坐标方程为 ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0.

(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0， π???当α∈0，4?时，Δ＝4sin2α＞0， ??所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)，

根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径． 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝ π???22sinα＋4?. ??

π??π?ππ?

当α∈?0，4?时，α＋4∈?4，2?，

?

?

?

?

故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,22]．

7．[2019·福州质检]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

??3y＝a＋?2t1x＝－2t

(t为参数，a∈R)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为

π

极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线θ＝3(ρ≥0)与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)当|AB|＝|OP|时，求a的值．

解：(1)将直线l的参数方程化为普通方程，得 3x＋y－a＝0.

由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，

从而x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为 x2－4x＋y2＝0.

?ρ＝4cosθ，

(2)解法一：由?π

?θ＝3?ρ≥0?，

所以|OP|＝2，

π??

得P?2，3?.

??

将直线l的参数方程代入圆的方程x2－4x＋y2＝0中， 得t2＋(2＋3a)t＋a2＝0， 由Δ>0，得23－4

则|AB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝4＋43a－a2＝2， 解得，a＝0或a＝43. 所以，所求a的值为0或43.

π

解法二：将θ＝3(ρ≥0)化为直角坐标方程，得 3x－y＝0(x≥0)，

由(1)知，曲线C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2， 由点到直线的距离公式，得点C到该射线的最短距离d＝＝3，

所以该射线与曲线C相交所得的弦长为 |OP|＝222－?3?2＝2.

|23－a||23－a|

圆心C到直线l的距离为：＝， 23＋1

?|23－a|?2

?＋12＝22，得(23－a)2＝12， 由?

2??

23

3＋1

即23－a＝±23， 解得，a＝0或a＝43. 所以，所求a的值为0或43.

8．[2019·洛阳统考]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

??x＝1＋2t?(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立?y＝－2＋t?

4极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.

1＋3sin2θ

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

??x′＝2x

(2)设曲线C2经过伸缩变换?得到曲线C3，M(x，y)是曲

?y′＝y?

线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．

??x＝1＋2t

解：(1)根据?，消参可得曲线C1的普通方程为x－2y

??y＝－2＋t

－5＝0，

4222

∵ρ＝2，∴ρ＋3ρsinθ＝4， 1＋3sinθ

2

x＝ρcosθ??

将?y＝ρsiinθ??x2＋y2＝ρ2

，代入可得：x2＋4y2＝4.

x22

故曲线C2的直角坐标方程为4＋y＝1.

??x′＝2xx22

(2)曲线C2：4＋y＝1，经过伸缩变换?得到曲线C3的

?y′＝y?

x′2

方程为16＋y′2＝1，

x2

∴曲线C3的方程为16＋y2＝1.

设M(4cosα，sinα)，根据点到直线的距离公式可得

|4cosα－2sinα－5||2sinα－4cosα＋5|

点M到曲线C1的距离d＝＝512＋?－2?2|25sin?α－φ?＋5|25＋5

＝≤＝2＋5(其中tanφ＝2)，

55

∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋5.