2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课时跟踪检测（四） 导数的运算法则 Word版含解析

8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；

2120， ?内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n＋1. (2)证明：fn(x)在?3??23解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn1.

－

n

所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n2＋n·2n1，①

－

－

则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n1＋n·2n，②

－

①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n1－n·2n

－

1－2n

＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， 1－2所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1. (2)因为f(0)＝－1＜0，

2??2?n?

1－

2?3??3??2?n??2?2＞0， fn?3?＝－1＝1－2×?≥1－2×?3??3?2

1－3因为x≥0，n≥2.

所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数， 2

0， ?内单调递增， 所以fn(x)在?3??2

0， ?内有且仅有一个零点an. 因此fn(x)在?3??x－xn1

由于fn(x)＝－1，

1－x

＋

1

an－ann

所以0＝fn(an)＝－1，

1－an

＋

11＋1112由此可得an＝＋ann＞，故＜an＜. 2222311n＋11?2?n＋12n

所以0＜an－＝an＜×?3?＝n＋1.

2223