2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课时跟踪检测（四） 导数的运算法则 Word版含解析

课时跟踪检测（四） 导数的运算法则

层级一 学业水平达标

1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( ) A．1 C．－1

B.2 D．0

解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2

＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.

3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1

B．y＝2x－2 D．y＝x＋1

解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.

3

4. 已知物体的运动方程为s＝t2＋t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )

19A. 415C. 4

17B. 413D. 4

3313

解析：选D ∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝.

t44

5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 C．2

解析：选D y′＝a－

B．1 D．3

1

，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. x＋1

6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2. ∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0

1

7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝

x________.

11

解析：由题知y′1＝2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为2，

xx0

3x20－2x0＋22

3x0－2x0＋2，所以＝3，所以

x20

答案：1

π??π?的值为________． 8．已知函数f(x)＝f′?cos x＋sin x，则f?4??4?π?解析：∵f′(x)＝－f′??4?sin x＋cos x， π??π?×2＋2， ∴f′?＝－f′?4??4?22π?得f′??4?＝2－1.

∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x. π?∴f??4?＝1. 答案：1

9．求下列函数的导数： ex＋1(1)y＝xsinx；(2)y＝x；

e－1

2

x0＝1.

(3)y＝

x＋cos x

；(4)y＝cos x·sin 3x.

x＋sin x

解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′ ＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x. ?ex＋1?′?ex－1?－?ex＋1??ex－1?′(2)y′＝ ?ex－1?2－2ex＝x . ?e－1?2(3)y′＝＝＝

?x＋cos x?′?x＋sin x?－?x＋cos x??x＋sin x?′

?x＋sin x?2?1－sin x??x＋sin x?－?x＋cos x??1＋cos x?

?x＋sin x?2－xcos x－xsin x＋sin x－cos x－1

. ?x＋sin x?2(4)y′＝(cos x·sin 3x)′

＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′

＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x ＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.

10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.

∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2， ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. 59∴a＝，c＝－.

22

59

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.

22

层级二 应试能力达标

1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 C．2

B．－2 D．0

解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 2．曲线y＝xexA．2e C．2

－1

在点(1,1)处切线的斜率等于( )

B．e D．1

－

－

－

解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex1＋xex1＝(1＋x)ex1， 当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex

－1

在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( ) A．e1

－

B．－1 D．－e

C．－e1

－

解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， 1

∴f′(x)＝2f′(e)＋x，

11

∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.

ee4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)

B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－1,0)

解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x， 4

∴f′(x)＝2x－2－x＞0， 整理得

?x＋1??x－2?

＞0，解得－1＜x＜0或x＞2， x

又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.

5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________． 解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝

1

，设切点为(x0，y0)， x＋a

1

＝2， x0＋a

则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且1

解之得a＝ln 2. 21

答案：ln 2

26．曲线y＝

x

在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的2x－1

最近距离是____________．

解析：y′＝－

1

，则y′

?2x－1?2| ＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2

x＝1

＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.

答案：22－1

7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值；

1

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16.

1

(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，

4∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x21. 0＋1＝4，∴x0＝±

由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14， 或y0＝－1－1－16＝－18.

则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.

8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；

2120， ?内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n＋1. (2)证明：fn(x)在?3??23解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn1.

－

n

所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n2＋n·2n1，①

－

－

则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n1＋n·2n，②

－

①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n1－n·2n

－

1－2n

＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， 1－2所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1. (2)因为f(0)＝－1＜0，

2??2?n?

1－

2?3??3??2?n??2?2＞0， fn?3?＝－1＝1－2×?≥1－2×?3??3?2

1－3因为x≥0，n≥2.

所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数， 2

0， ?内单调递增， 所以fn(x)在?3??2

0， ?内有且仅有一个零点an. 因此fn(x)在?3??x－xn1

由于fn(x)＝－1，

1－x

＋

1

an－ann

所以0＝fn(an)＝－1，

1－an

＋

11＋1112由此可得an＝＋ann＞，故＜an＜. 2222311n＋11?2?n＋12n

所以0＜an－＝an＜×?3?＝n＋1.

2223