高考数学一轮复习第48课__双曲线的标准方程和几何性质

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第48课 双曲线的标准方程和几何性质

1. 了解双曲线的定义和几何图形.

2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.

3. 了解双曲线的简单几何性质.

1. 阅读：选修11第37～41页(理科阅读选修21相应内容).

2. 解悟：①双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率)；②双曲线的离b

心率是反映了双曲线形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系？③求离心率关键要

a寻找何种等式？

3. 践习：在教材空白处，完成选修11第39页练习第3题，第45页习题第1，6题(理科完成选修21相应任务).

基础诊断

x2y2x2y2

1. 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率

ab169x2y2

是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 －＝1 .

43解析：由题意得双曲线的半焦距为c＝7，椭圆的离心率为x2y2

可得a＝2，b＝3，所以双曲线方程为－＝1.

43

2. 若双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为 y＝±2x .

解析：双曲线x2＋my2＝1中a＝1，b＝长的2倍，所以21－.因为双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴m

77，则双曲线的离心率为，42

11y2

2

－＝4，所以m＝－，所以双曲线方程为x－＝1，所以双曲线的m44

渐近线方程为y＝±2x.

x2y2

3. 若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的

ab离心率为 5 .

解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于2a，即点F(c，0)到直线bx±ay＝0的距

|bc|c2b2

2离等于2a，即22＝2a，即b＝2a，所以e＝2＝1＋2＝5，即双曲线的离心率为e＝5. aaa＋b

x2y2

4. 经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 －＝1 .

88x2y2

解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0)，将点A(3，－1)代入

aa

1

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91x2y2

2

方程得2－2＝1，得a＝8，所以双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，设双

aa88y2x219

曲线的标准方程为2－2＝1(b>0)，将点A(3，－1)代入方程得2－2＝1，得b2＝－8(舍).

bbbbx2y2

综上，该双曲线的方程为－＝1.

88

范例导航

考向? 求双曲线的标准方程 例1 (1) 双曲线过P?3，

?

26?10?，Q?1，－两点，求双曲线的标准方程； 2?2??

x2y2

(2) 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点A(3，4)，求双曲线的标准方程.

94x2y2

解析：(1) 设双曲线方程为＋＝1(mn<0).

mn因为经过点P?3，

?

26?10?，Q?1，－， 2?2??

?＋＝1，?3mnm＝－4，

所以有?解得

n＝2.?－10?

2?1??＋?mn＝1，

22

2

2

?26??2?

?????

y2x2

故所求双曲线方程为－＝1.

24x2y2

(2) 因为所求双曲线与双曲线－＝1有共同的渐近线，

94

x2y23242

所以设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点A(3，4)代入得－＝λ，则λ＝－3，

9494y2x2

故所求双曲线方程为－＝1.

1227

110双曲线有一条渐近线l：y＝x，有一条准线l：y＝，求双曲线的标准方程.

25y2x2

解析：由题意知双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为2－2＝1，则2又因

aba10

＝.c5???

a1＝，b2

?a＝2，

为a2＋b2＝c2，所以?

?b＝22，

y2x2

所以双曲线的标准方程为－＝1.

28

2

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考向? 求双曲线的离心率

x2y2

例2 已知过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与

ab→→

另一条渐近线交于点B，若FB＝2FA，求双曲线的离心率.

→→

解析：如图.因为FB＝2FA，

所以A为线段BF的中点， 所以∠2＝∠3. 因为∠1＝∠2，所以∠2＝60°， b

所以＝tan60°＝3，

a所以

e2＝1＋

?b?＝4，所以e＝2. ?a?2

x2y2

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2

ab3＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 Ｗ.

2x2y2b

解析：双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，与抛物线C2：x2＝2py

aba2pb2pb2?p?4b2－a22pb??联立，可得x＝0或x＝±，取A?a，a2?.设抛物线C2的焦点为P?0，2?，则kAP＝.a4ab4b2－a2?b?

因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以·?－a?＝－1，化简得5a2＝4b2，所以5a2＝4(c2

4abc3

－a2)，所以e＝＝.

a2

考向? 双曲线性质的简单应用

例3 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).

(1) 求双曲线的标准方程；

(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3) 在(2)的条件下，求△F1MF2的面积.

解析：(1) 因为e＝2， c

所以＝2，所以c2＝2a2.

a

又c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝2a2，所以a＝b，

3

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所以设双曲线方程为x2－y2＝k(k≠0). 因为双曲线经过点(4，－10)， 所以k＝16－10＝6，

x2y2

故所求双曲线方程为－＝1.

66

(2) 由(1)知，双曲线的焦点坐标为F1(－23，0)，F2(23，0). 因为点M(3，m)在双曲线上，所以m2＝3.

→→

又MF1·MF2＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝m2－3＝0， →→所以MF1⊥MF2，

所以点M在以F1F2为直径的圆上. (3) 由(2)知，F1F2＝43，m2＝3， 所以|m|＝3，

11

S△F1MF2＝F1F2·|m|＝×43×3＝6.

22

自测反馈

x2y25

1. 已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方

ab4x2y2

程为 －＝1 .

169c5x2

22

解析：由题意得＝，c＝5，所以a＝4，b＝5－4＝3，所以双曲线C的方程为－

a416y2

＝1. 9x2y2

2. 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1·PF2

916＝32，则∠F1PF2＝ 90° .

x2y2

2解析：由－＝1得c2＝25.因为PF1－PF2＝2a＝6，PF1·PF2＝32，所以PF21＋PF2＝(PF1

916－PF2)2＋2PF1·PF2＝36＋64＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得＝0.又因为0°<∠F1PF2<180°，所以∠F1PF2＝90°.

x2y2

3. 已知F，A分别为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满

ab1＋5→→

足FB·AB＝0，则双曲线的离心率为 .

2→→

解析：由题意得F(－c，0)，A(a，0)，则FB·AB＝(c，b)·(－a，b)＝0，即b2＝ac，c2－1＋5a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去).

2

x2y23x2y2

4. 若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线2－2＝1的离心率为

ab3ab

15 . 32＋PF2－FF2PF1212

cos∠F1PF2＝

2PF1·PF2

4