2018年高考数学考点通关练第六章立体几何61几何概型试题理

考点测试61 几何概型

一、基础小题

1

1．设x∈[0，π]，则sinx<的概率为( )

21111A. B. C. D. 6432答案 C

1

解析 由sinx<且x∈[0，π]，

2

?π??5π，π?，

借助于正弦曲线可得x∈?0，?∪??6??6??

π

×261∴P＝＝.

π－03

2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )

A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.1 答案 C

解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求0.11

概率为P＝＝＝0.05.

220

3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )

1111A. B. C. D. 13942答案 B

1

π×21

解析 由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P＝2＝.

π×694．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )

1234A. B. C. D. 5555答案 B

302解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝. 755

5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )

A．4 B．3 C．2 D．1 答案 B

解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方11

形的面积比为，所以阴影部分的面积约为9×＝3.

33

6．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )

2

1311

A. B. C. D. 2234答案 C

π

解析 当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由

32π31

几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选C.

2π3

7．向等腰直角三角形ABC(其中AC＝BC)内任意投一点M，则AM小于AC的概率为( ) A.

22ππ B．1－ C. D. 2284

答案 D

2

解析 以A为圆心，AC为半径画弧与AB交于点D.依题意，满足条件的概率P＝12π·AC8π

＝. 124AC2

8．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm的概率为( )

1213A. B. C. D. 3344答案 B

解析 不妨设矩形的长为x cm，则宽为(12－x) cm，由x(12－x)>20，解得2

以该矩形的面积大于20 cm的概率为＝. 123

9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－

2

S扇形ACD＝S△ABCA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )

ππππA. B．1－ C. D．1－ 121266答案 B

解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的2

π31414233

体积为：×πr＝××π×1＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1

232338π

－. 12

10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )

ππππA．1－ B．1－ C. D.

1210624答案 A

解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC，且AB＝6，BC＝8，CA＝10，则有AB＋BC＝CA，

2

2

2

AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角

1

2

3

形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于24－2ππ率等于＝1－. 2412

A＋B＋C2ππ22

×π×2＝×2＝2π，因此所求的概

2

11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )

1112A. B. C. D. 2343答案 B

解析 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x，y,3－

x>0，??

x－y，则?y>0，

??3－x－y>0，x>1，??

?01

x>1，??

而恰有两条线段的长度大于1，则需满足?y>1，

??0<3－x－y<1

或

y>1，??

或?01.

作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P1

×1×1×321＝＝. 13×3×32

12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．

4答案

5

解析 设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”4×84表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P＝＝.

5×85

二、高考小题

13．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：

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