2019新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.1.1 含解析

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∴AP平分△ABC中的∠BAC.

∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 答案B 4已知函数f(x)=2x,a,b为正实

数,A= 则 的大小关系是 解析 为正实数) 且f(x)=2x在R上是增函数,

∴ ≤f 即C≤B≤A. 答案C≤B≤A

5已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 . 解析∵sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,

以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)= 答案 ★

6正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离

为 的点形成一条曲线 这条曲线的长度为

解析这条曲线在平面ADD1A1上的一段是以A为圆心 为半径 为圆心角的一段圆弧,在平面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心 为半径 为圆心角的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为 答案 7数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.

(1)证明:数列 是等差数列

(2)设bn=3n· 求数列 的前 项和

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(1)证明由已知可得

即

所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列.

(2)解由(1)得

·1=n,所以an=n2.

① ②

从而bn=n·3n.

Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n, 3Sn=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1. ①-②,得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1

- - - n+1 ·3

-

-

所以Sn

★

8如图所示,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛

物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.

分析本题考查解析几何中的证明问题,解决本题应先画出图形,将文字语言转化为图形语言,借助图形的直观性,帮助分析证题思路. 证明∵抛物线的方程为y2=2px(p>0),

∴焦点为

∴设过点F的直线AB的方程为x=my 由

得y2-2pmy-p2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个根,∴y1y2=-p2. ∵BC∥x轴,且点C在准线x= 上, ∴点C的坐标为 - ∴直线CO的斜率k

-

即k也是直线OA的斜率, ∴点A,O,C在同一条直线上, ∴直线AC经过原点O.

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