2019新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.1.1 含解析

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2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法和分析法

第1课时 综合法

课时过关·能力提升

基础巩固

1如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列,那么这个等比数列的公比等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析设等差数列的首项为a1,公差为d,等比数列的公比为q,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d.

因为a2,a3,a6构成等比数列,所以 ·a6,

所以a1= 所以q 故选C.

答案C 2对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;

②a>b与a

x≥ 则

B.1 C.2 D.3

-

有 -

A.最大值 最小值 C.最大值1 解析f(x) 答案D 4在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是( )

D.最小值1 -

-

- -

当且仅当(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D.

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A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不确定

解析∵tan A·tan B>1,∴角A,角B只能都是锐角.

∴tan A>0,tan B>0,1-tan A·tan B<0. ∴tan(A+B)

-

∴A+B是钝角.∴角C为锐角.故选A. 答案A 5设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有( )

A.1≤ab≤

C.ab

答案B 6在△ABC中,已知cos Acos B>sin Asin B,则△ABC的形状一定是 . 解析因为cos Acos B>sin Asin B,

所以cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0. 故cos C<0,角C为钝角,即△ABC为钝角三角形. 答案钝角三角形

7若lg x+lg y=2lg(x-2y),则l

-

解析由题设条件知

-

即x2-5xy+4y2=0,解得

或 因为x>2y,所以

即l 答案4 8函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x>1时,f(x)的解析式为 .

解析设点(x0,y0)(x0≤1)在函数f(x)=(x+1)2-1的图象上,

又设点(x0,y0)关于x=1的对称点为(x',y'). 由对称可知 - 则 -

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将点(2-x',y')的坐标代入f(x)=(x+1)2-1,得y'=(2-x'+1)2-1,即y'=(x'-3)2-1,所以当x>1时,f(x)的解析式为f(x)=(x-3)2-1. 答案f(x)=(x-3)2-1

9设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求

的最小值

解 =1

≥3+2+2+2=9,

当且仅当a=b=c 时,等号成立. 故所求最小值为9.

10设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证

分析解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证. 证明∵a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,

又bc+ca≥ ca+ab≥

ab+bc≥ 且a,b,c不全相等, ∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立. ∴2(bc+ca+ab)>2 即bc+ca+ab

故

11在锐角三角形ABC中,已知3b= 且 求证 △ABC是等边三角形.证明∵3b= B,

∴由正弦定理,得3sin B= Asin B. ∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴sin A ∵△ABC是锐角三角形,∴A

∵cos B=cos C,∴B=C.

∴A=B=C

△ABC是等边三角形.

能力提升

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1设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2) A.a 且 ≠-1 C.a 或 解析∵f(x)的周期为3,∴f(2)=f(-1).

又f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1). 则f(2)=f(-1)=-f(1).

再由f(1)>1,可得f(2)<-1,即 解得-1

-

则 的取值范围是

2《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈ 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 那么 近似公式

相当于将圆锥体积公式中的 近似取为

A 解析由题意可知L=2πr,

即r

应选B.

圆锥体积V 故

答案B 3若O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 C.重心

B.内心 D.垂心

解析

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