可化为一元二次方程的分式方程

可化为一元二次方程的分式方程

一、重点、难点

1、会用去分母的方法解分式方程。 2、会用换元法解分方式方程。

3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。

二、考点

1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。

2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。 3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。

三、例题分析

第一阶段

例1、解下列分式方程：

思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。 解：

（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母 (1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x) 整理得x+3x=0

2

x1=0, x2= -3

检验 把x=0代入(1-x)(1+x)≠0 把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0 ∴x1=0, x2= -3是原方程的解。

方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1) 整理得 x-8x+12=0 解方程x1=2,x2=6

检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去 把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0 ∴原方程的根是x=6

点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。

2

例2、解下列方程

思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。

可把原方程变形为，此

时若设

即可把原方程变为一个关于y的整式方程。

解：

（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x-1, 整理得 x-x-2=0,

解这个方程得 x1=2, x2= -1.

经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。 ∴原方程的根是x=2.

2

2

(2)原方程的变形为

解这个方程，得

解得x3=x4=1.

例3、解方程

2

2

思路分析：此题可用换元法解，把(x+x)看作一个整体，可以设y=x+x,原方程变为

；若把x+x+1看作是一个整体，可设y=x+x+1，则x+x=y-1，原方程就变为

解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x+x或x+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。

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解：设x+x=y，则原方程变为 去分母，整理后，得：y+y-6=0 解这个方程得：y1= -3. y2=2. 当y= -3时，x+x= -3,Δ<0，无解。 当y=2时，x+x=2。 解得：x1= -2, x2=1.

2

2

2

2

，

经检验：x1= -2, x2=1都是原方程的根。 ∴原方程的根为x1= -2, x2=1。

第二阶段

例4、