高考数学高中数学知识点南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量 - 图文

专题4：平面向量

问题归类篇

类型一：向量的运算

一、 前测回顾

1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.

答案：－3．

2． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．

(2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是 ．

→1→→→→

(3) 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．

2答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．

3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________． (2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝19，则向量a，b的夹角是 ． (3) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________． (4)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于____ __． 2π3

答案：(1)－32； (2)； (3) ； (4)12．

32

????

4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120?，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则AD·BC＝ ．

(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，?BAD＝60?，E为CD中点， ????

则AE?BD＝ ．

????

(3)已知OA＝2，OB＝23, OA·OB＝0，点C在线段AB上，且∠AOCA ????

＝60?，则AB·OC＝________________．

(4)在△ABC中，∠BAC＝120?，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的????????????

点，且AE·BC＝0．则AD·BC＝ ；AD·AE＝ ． 883

答案：(1)－； (2)1； (3)4； (4)－, ．

337二、方法联想

1．向量的运算

方法1 用向量的代数运算．

方法2 结合向量表示的几何图形． 三、归类巩固

*1．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围是 23答案：（0，]．

3

D E C

B

提示：结合向量的几何图形求解．

π

**2．在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB＝2，BC＝1，?ABC＝，动点E，F分别在线段BC，

3??????1??????

DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为 .

9λ答案：

29． 18????

提示：数量积AE·AF标示为λ的函数．

→→

***3．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则AO·BC＝________. 5答案：．

2

提示：外心隐含着垂直关系．

类型二：形如AD＝xAB＋yAC等式中系数x，y值的确定

一、前测回顾

????????→→→1．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC,BN＝NC．若MN＝xAB＋yAC，则x＋y的值为 ． 1答案：．

3

??????????2π????π

2．平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为，OA与OC的夹角为，且，

36??????

|OA|＝|OB|＝2，|OC|＝43，若OC??OA??OB??,??R?，则???的值为_______．

答案：6．

→→→3．已知在△ABC中，O为△ABC的外心，AB＝16，AC＝102，AO＝xAB＋yAC，且32x＋25y＝→

25，则|AO|等于___________．

答案：10．

提示：由AO?xAB?yAC，可得AO?AO?xAB?AO?yAC?AO，

2211?AB?AO?AMAB?AB?128，同理：?AC?AO?ANAB?AC?100，

22→→→所以AO?128x?100y?4?32x?25y??100， →

所以|AO|＝10． 二、方法联想

→→→方法1 通过平面向量运算，完成向量AD用AB，AC表示，进而确定x，y的值．

→→→方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式AD＝xAB＋yAC，可考虑两边对同一向量

2

作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解．

方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解． 三、归类巩固

**1．在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若AM?xAB,AN?yAC，则x＋4y的最小值是________．

9答案：．

4

→→→→→***2．在△ABC中，AB＝AC＝2， AB·AC＝－1，O是△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，则x＋

y的值为________．

13． 6类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾

答案：

AM?B1．平面上的向量MA,MB满足MA?MB?4，且M的最小值为___________．

答案：

212?0，若MC?MA?MB，则MC337． 42．已知a，b是单位向量，且a，b的夹角为60°，，若向量c满足|c－a＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____． 答案：2?3．

3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y?k(x?33)上存在一点P，圆x2?(y?1)2?1上存在一点Q，满足OP?3OQ，则实数k的最小值为 ．

答案：－3．

二、方法联想

方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．

方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、归类巩固

**1．在△ABC中，已知BC=2，AB?AC?1,则△ABC面积的最大值是_____． 答案:2．

提示：以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)。设点A(x,y),则由条件得(x?1)(x?1)?y?1,即x?y?2,故△ABC面积的最大值是

2221?2?2?2. 2

→→→→→→→→→**2．在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC＝DC·DA＝－2，动点P，→→→→M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是_____．

答案:

49． 4提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出A,B,C,D坐标，同时得到动点P的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值．

**3．在平面直角坐标系xOy中，A(?12,0),B(0,6),点P在圆O:x2?y2?50上，若PA?PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 ．

答案：[?52,1]．

***4．已知向量|a|＝1，|b|＝2，a?b＝1，设向量c满足(2a－c) ·(b－c) ＝0，则｜c｜的最小值为 ． 答案：3－1．

***5．已知A,B,C,D四点共面，BC?2，AB?AC?20，CD?3CA，则|BD|的最大值为 ．

答案：10．

22综合应用篇

一、例题分析

例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ．

（2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝52，则︱b︱＝ ．

（3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ ． →→

（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA?AB＝ ．

77

答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．

93

〖教学建议〗

一、主要问题归类与方法：

1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．

2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．

3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．

二、方法选择与优化建议：

1．第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．

2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．

1→→→

3．第（4）小题解法1：基底法，选择CA和与CA垂直的BD为基底；解法2：以AC、BD为两坐标轴

2