[高考真题]2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案（文科）

则a2=a1q=×2=,故选C.

10.C 因为△AOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由R=36得R=6.从而球O的表面积S=4πR=144π.故选C.

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11.B 当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+ ;当点P为DC中点时,PA+PB=2PA=2 .显然,1+ >2 ,故当x= 时, f(x)不取最大值,故C、D选项错误.当x∈ , 时, f(x)=tan x+ ,不是一次函数,排除A.故选B. 评析 做选择题可以取特殊位置进行研究. 12.A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)- , ∴f '(x)= +

( )

>0,∴f(x)在(0,+ )上为增函数,

∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数, 由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),

∴|x|>|2x-1|,即3x-4x+1<0,解得

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二、填空题 13.答案 -2

解析 因为函数f(x)=ax-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)-2×(-1),故a=-2. 14.答案 8

- ,解析 由约束条件画出可行域(如图所示).解方程组 得A(3,2).当动直线

- 2x+y-z=0经过点A(3,2)时,zmax=2×3+2=8.

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评析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.

15.答案

-y=1

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解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x-4y=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4, ),所以4-4×( )=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y=1. 16.答案 8

解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+, f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点

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(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax+(a+2)x+1的切点

为P(x0,y0),则y'| =2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=- ,又a +(a+2)x0+1=2x0-1, 即a +ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-,此时a=8.

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评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键. 三、解答题

17.解析 (Ⅰ)由正弦定理得

=

,

=

.

因为AD平分∠BAC,BD=2DC, 所以

==.

(Ⅱ)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B) = cos∠B+ sin∠B. 由(Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C, 所以tan∠B= ,即∠B=30°.

评析 本题考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.属中档题.

18.解析 (Ⅰ)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

(Ⅱ)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图:

(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH= - =6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为 也正确 . 20.解析

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-

(Ⅰ)由题意有=, + =1,

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解得a=8,b=4. 所以C的方程为 + =1.

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入 + =1得 (2k+1)x+4kbx+2b-8=0. 故xM=

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=-

,yM=k·xM+b=

.

于是直线OM的斜率kOM= =- ,即kOM·k=- .

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

评析 本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;考查了定值问题的解题方法.利用韦达定理解决线段的中点是求解关键.

21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+ ),f '(x)=-a.

若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+ )上单调递增.

若a>0,则当x∈ , 时,f '(x)>0;当x∈ , 时,f '(x)<0.所以f(x)在 , 上单调递增,在 , 上单调递减.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+ )上无最大值;当a>0时,f(x)在x= 处取得最大值,最大值为f =ln +a - =-ln a+a-1. 因此f >2a-2等价于ln a+a-1<0.

令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+ )上单调递增,g(1)=0. 于是,当01时,g(a)>0. 因此,a的取值范围是(0,1).

22.解析 (Ⅰ)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线. 又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF. 从而EF∥BC.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上. 连结OE,OM,则OE⊥AE.

由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形. 因为AE=2 ,所以AO=4,OE=2. 因为OM=OE=2,DM= MN= ,所以OD=1. 于是AD=5,AB=

.

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的面积为 × × - ×(2 )× = .

所以四边形EBCF

评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了圆的初步知识.

23.解析 (Ⅰ)曲线C2的直角坐标方程为x+y-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x+y-2 x=0.

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, , 联立 解得 或 - , .

- ,

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 , .

(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2 cos α|=4 - . 当α=

时,|AB|取得最大值,最大值为4.

评析 本题考查了极坐标和参数方程,考查了最值问题.利用极径的几何意义建立关系式是求解关键.

24.证明 (Ⅰ)因为( + )=a+b+2 ,( + )=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,ab>cd得( + )>( + ). 因此 + > + . (Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)<(c-d), 即(a+b)-4ab<(c+d)-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(Ⅰ)得 + > + .

(ii)若 + > + ,则( + )>( + ), 即a+b+2 >c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以ab>cd.

于是(a-b)=(a+b)-4ab<(c+d)-4cd=(c-d). 因此|a-b|<|c-d|.

综上, + > + 是|a-b|<|c-d|的充要条件.

评析 本题主要考查不等式证明,对带有根号、绝对值的不等式,平方作差比较是常用的方法.

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