[高考真题]2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案（文科）

19.(本小题满分12分)

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, )在C上.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. (Ⅰ)证明:EF∥BC;

(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2 ,求四边形EBCF的面积.

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

,

在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ. (Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;

(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明: (Ⅰ)若ab>cd,则 + > + ; (Ⅱ) + > + 是|a-b|<|c-d|的充要条件.

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)

一、选择题

1.A 因为A=(-1,2),B=(0,3),所以A∪B=(-1,3),故选A. 2.D 由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.

3.D 由已知柱形图可知A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,所以排放量与年份负相关,∴D不正确.

4.C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C. 5.A ∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,得3a3=3,则a3=1, ∴S5=

( )

=5a3=5,故选A.

6.D 如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为 a,剩余部分的体积为a- a= a.它们的体积之比为 .故选D.

3

3

3

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评析 本题主要考查三视图和体积的计算;考查空间想象能力.

7.B 在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为

D , .因此|OD|=

= = .故选

B.

8.B 执行程序框图:当a=14,b=18时,ab,则a=14-4=10;当a=10,b=4时,a>b,则a=10-4=6;当a=6,b=4时,a>b,则a=6-4=2;当a=2,b=4时,a

9.C 设{an}的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5= , ∴ =4(a4-1),即(a4-2)=0,得a4=2,

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则q= = =8,得q=2,

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