考点29、直线与圆锥曲线的位置关系（含曲线与方程）

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【考点29】直线与圆锥曲线的位置关系（含曲线与方程）

2009年考题

1.（2009北京高考）点P在直线l:y?x?1上，若存在过P的直线交抛物线y?x2于A,B两点，且

|PA?|AB|，则称点P为“

A．直线l上的所有点都是“

点”，那么下列结论中正确的是 （ ） 点” 点” 点”

点”

B．直线l上仅有有限个点是“ C．直线l上的所有点都不是“

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“【解析】选A.本题采作数形结合法易于求解，如图，

设A?m,n?,P?x,x?1?， 则B?2m?x,2n?x?2?， ∵A,B在y?x上，

2?n?m2∴? 2?2n?x?1?(2m?x)消去n,整理得关于x的方程x?(4m?1)x?2m?1?0 （1） ∵??(4m?1)?4(2m?1)?8m?8m?5?0恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

2.（2009全国Ⅱ）已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，

222222若|FA|?2|FB|，则k?

A.

12222 B. C. D. 33332【解析】选D.设抛物线C:y?8x的准线为l:x??2直线 y?k?x?2??k?0?

1

恒过定点P??2,0? .如图过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于N, 由|FA|?2|FB|,则

|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|?B的坐标为(1,22)?k?1|AF|, ?|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点222?022. ?1?(?2)33.（2009四川高考）已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

A.2 B.3 C.

1137 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 516【解析】选A.直线l2:x??1为抛物线y2?4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y?4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x?3y?6?0的距离，即dmin?2|4?0?6|?2，故选择A。

54. （2009江苏高考）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆

x2y2??1(a?b?0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于a2b2点T，线段OT与椭圆的交点为 . 【解析】直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：

M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率

xy??1； ?abxy2acb(a?c)??1。二者联立解得：T(,)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m c?ba?ca?cx2y2acb(a?c),)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(aba?c2(a?c)c2(a?c)2222??1,c?10ac?3a?0,e?10e?3?0，w.w.w.k.s.5.u.c 22(a?c)4(a?c)解得：e?27?5 答案：e?27?5.

5.（2009海南宁夏高考）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线?的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为y?4x，

2

22y1?y24?2?y1?4x1两式相减得，y12?y2?4x?x，???1 ??12A?x1,y1?,B?x2,y2?,则有x1?x2，?2x1?x2y1?y2??y2?4x2?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x

6.（2009海南宁夏高考）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。

【解析】设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，故y2?4x. x1?x2＝k＝2×2，答案：y2?4x

7.（2009上海高考）过点A（1，0）作倾斜角为

?的直线，与抛物线y2?2x交于M、N两点，则4MN= 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线y2?2x，得：x2－4x＋1＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝1， 则|MN|?(x1?x2)2?(y1?y2)2＝2(x1?x2)2＝2[(x1?x2)2?4x1x2]＝26. 答案：26 8.（2009广东高考）已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)xA?xB．

是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

251?0与D有公共点，试求a的最小值． 25152【解析】（1）联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，设线段PQ的中点M坐

2215?s?t1522标为(x,y)，则x?，即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上， ,y?2222512112∴2y??(2x?)化简可得y?x?x?，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则

22811511152?1?2x??2，即??x?，∴中点M的轨迹方程为y?x?x?（??x?）.

24484451222y?0，即圆E：（2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?25497xB (x?a)2?(y?2)2?，其圆心坐标为E(a,2)，半径r?

25551222?0与 由图可知，当0?a?2时，曲线G:x?2ax?y?4y?a?xA D 25o222（2）若曲线G:x?2ax?y?4y?a? 3 xD有公共点；

222当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?51?0与D有公共点， 25只需圆心E到直线l:x?y?2?0的距离d?|a?2?2|2?|a|2?7， 5得?7272. ?a?0，则a的最小值为?553,两个焦点分别为F1和F2,29.（2009广东高考）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

x2y2【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;

ab?2a?12??a?6? 则?c , ?b2?a2?c2?36?27?9 3 , 解得???c?33??2?ax2y2??1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所求椭圆G的方程为：

369( 2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?11?|F1F2|?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外；

22若k?0，由(?6)?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外.

?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

10.（2009海南宁夏高考）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4

OPOM=λ，求点M的轨迹方程，