环球雅思中小学-2013年高考数学江苏卷（理科）

环球雅思中小学

?12? ??5?12318．解：（1）∵cosA?，cosC?

135?54（0，）∴A、C?∴sinA?，sinC?

2135终上所述，a的取值范围为：?0,??sin（A?C）（A?C）?sinAcosC?cosAsinC? ∴sinB?sin??? 根据

63 65ABACAC?sinC?1040m 得AB?sinCsinBsinB222（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则d?(130t)?(100?50t)?2?130t?(100?50t)?∴d?200(37t?70t?50)

2212 131040即0?t?8 1303535∴t?时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。

3737AC12605BCACsinA??500（m） ?（3）由正弦定理得BC?6313sinBsinAsinB65∵0?t?乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C

500710??3 v505007101250625??3∴?v?∴?3? v504314设乙的步行速度为V m/min,则

∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在??1250625?范围内 ,??4314?法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，

设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由AC＝63k＝1260m， 知：AB＝52k＝1040m．

（2）设乙出发x分钟后到达点M，

此时甲到达N点，如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，

2222

由余弦定理得：MN＝AM＋AN－2 AM·ANcosA＝7400 x－14000 x＋10000，

35

其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．

37

1260126

（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时： ＝ (min)．

50512614186

若甲等乙3分钟，则乙到C用时： ＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．

555861250

此时乙的速度最小，且为：500÷ ＝ m/min．

54312611156

若乙等甲3分钟，则乙到C用时： －3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．

55556625

此时乙的速度最大，且为：500÷ ＝ m/min．

514

环球雅思中小学

1250625

故乙步行的速度应控制在[ ， ]范围内．

4314

M B D

19．证明：∵{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和 C

N A

n(n?1)d 2Sn?1d （1）∵c?0 ∴bn?n?a?n2∴Sn?na?123d)?a(a?d) 22112111∴ad?d?0 ∴d(a?d)?0 ∵d?0 ∴a?d ∴d?2a 24222n(n?1)n(n?1)d?na?2a?n2a ∴Sn?na?22∴左边=Snk?(nk)2a?n2k2a 右边=n2Sk?n2k2a

∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2?b1b4 ∴(a?2∴左边=右边∴原式成立

（2）∵{bn}是等差数列∴设公差为d1，∴bn?b1?(n?1)d1带入bn?nSn得： n2?cb1?(n?1)d1?nSn1132?(d?d)n?(b?d?a?d)n?cdn?c(d?b)n?N ∴对恒成立 111111222n?c1?d??12d?0??b?d?a?1d?0∴?1 12??cd1?0?c(d?b)?0?111由①式得：d1?d ∵ d?0 ∴ d1?0

2由③式得：c?0

法二：证：（1）若c?0，则an?a?(n?1)d，Sn?当b1，b2，b4成等比数列，b2?b1b4，

2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a，bn?．

22d?3d???2即：?a???a?a??，得：d?2ad，又d?0，故d?2a．

2?2???由此：Sn?n2a，Snk?(nk)2a?n2k2a，n2Sk?n2k2a．

故：Snk?n2Sk（k,n?N*）． （2）bn?2nSn?n2?cn2(n?1)d?2a2， 2n?c 环球雅思中小学

(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a?c?c222 ?2n?c(n?1)d?2ac(n?1)d?2a2． (※) ??22n?c若{bn}是等差数列，则bn?An?Bn型． n2观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，

(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2c?0故有：，即，而≠0， ?022n2?c故c?0．

经检验，当c?0时{bn}是等差数列．

c20.解：（1）由f(x)?而由x?(1,??)知

'11?1??a?0即?a对x?(1,??)恒成立，∴a???max xx?x?1＜1 ∴a?1 x由g'(x)?ex?a令g'(x)?0则x?lna

当x＜lna时g'(x)＜0，当x＞lna时g'(x)＞0， ∵g(x)在(1,??)上有最小值 ∴lna＞1 ∴a＞e

综上所述：a的取值范围为(e,??)

（2）证明：∵g(x)在(?1,??)上是单调增函数

∴g'(x)?ex?a?0即a?e对x?(?1,??)恒成立， ∴a?ex??xmin

x而当x?(?1,??)时，e＞分三种情况：

11 ∴a? ee'（Ⅰ）当a?0时， f(x)?1＞0 ∴f（x）在x?(0,??)上为单调增函数 x∵f(1)?0 ∴f（x）存在唯一零点

1?a＞0 ∴f（x）在x?(0,??)上为单调增函数 xaaa∵f(e)?a?ae?a(1?e)＜0且f(1)??a＞0

（Ⅱ）当a＜0时，f(x)?'∴f（x）存在唯一零点

111''时，f(x)??a，令f(x)?0得x? exa11?a(x?)?a(x?)1a＞0；x＞1时，f'(x)?a＜0 ∵当0＜x＜时，f'(x)?aaxx1111∴x?为最大值点，最大值为f()?ln?a??lna?1

aaaa11①当?lna?1?0时，?lna?1?0，a?，f(x)有唯一零点x??e

ea（Ⅲ）当0＜a? 环球雅思中小学

1，f(x)有两个零点 e1111a111实际上，对于0＜a?，由于f()?ln?a??1?＜0，f()?ln?a??lna?1＞0

eeeeeaaa?11??11?且函数在?,?上的图像不间断 ∴函数f(x)在?,?上有存在零点

?ea??ea?1?1??1??1?'另外，当x??0,?，f(x)??a＞0，故f(x)在?0,?上单调增，∴f(x)在?0,?只有一个零点

x?a??a??a??1?1?1?1?1?1?下面考虑f(x)在?,???的情况，先证f(ea)?lnea?aea?a?1lne?aea?a(a?2?ea)＜0

?a?x2为此我们要证明：当x＞e时，e＞x，设h(x)?ex?x2 ，则h'(x)?ex?2x，再设l(x)?ex?2x

②当?lna?1＞0时，0＜a?∴l'(x)?ex?2

当x＞1时，l'(x)?ex?2＞e-2＞0，l(x)?ex?2x在?1,???上是单调增函数 故当x＞2时，h'(x)?ex?2x＞h'(2)?e2?4＞0

从而h(x)?ex?x2在?2,???上是单调增函数，进而当x＞e时，h(x)?ex?x2＞h(e)?ee?e2＞0 即当x＞e时，e＞x，

?1?1?1?1?11?1时，即a＞e时，f(ea)?lnea?aea?a?1lne?aea?a(a?2?ea)＜0 e?1111又f()?ln?a??lna?1＞0 且函数f(x)在a?1,ea上的图像不间断，

aaa1?a(x?)1?1a?1'a∴函数f(x)在a,e上有存在零点，又当x＞时，f(x)?＜0故f(x)在a?1,??上ax是单调减函数∴函数f(x)在a?1,??只有一个零点

1综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当a?0时，f(x)的零点个数为1；当0＜a＜时，f(x)的零点个数为2

ex2当0＜a＜

????????21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C ∴?ADO??ACB?90,又∵?A??A ∴RT?ADO～RT?ACB

0BCAC? 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD ODAD?a?b???a??b??1?0???1?0??a?b??1?0?21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为?,则=，即??2c?2d?=?0?1?， ?0?2??c?d??0?1?c?d??????????????1?0?1?1?, 故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为A??1?0???22????1?0??1?2???1??2??1?∴AB=??=??0??3? ?0??1??0?6????2???x?t?121．C解：∵直线l的参数方程为? ∴消去参数t后得直线的普通方程为2x?y?2?0 ①

?y?2t2同理得曲线C的普通方程为y?2x ②

∴